Se acabó complicando un poco preocuparse por las influencias de los otros cuerpos. Influyen, pero esa influencia está en el ruido.
Entonces, veamos si podemos calcular la masa del Sol en base a datos de observación …
A principios del siglo XVII, Kepler pasó mucho tiempo analizando observaciones de los planetas por personas como Brahe. A partir de ese análisis, determinó una relación matemática.
- ¿Por qué la Tierra y todos los objetos del universo tienen gravedad?
- ¿Qué tan rápido tendría que girar la Tierra para cancelar nuestra gravedad? Al menos en el ecuador.
- ¿Cuánto más pequeña debería ser la Tierra para que su gravedad disminuya en un 1%?
- ¿Cómo se vería afectada una persona a 1/3 de la gravedad de la Tierra?
- ¿Qué tan grande debería ser una montaña antes de que la fuerza de gravedad la afecte visiblemente a ella y a la tierra circundante?
Es decir, que el período de un planeta (tiempo que toma viajar una vez alrededor del sol) al cuadrado es igual a la distancia entre el sol y ese planeta, en cubos. Es decir, si las unidades son años y unidades astronómicas, siendo una unidad astronómica (UA) la distancia entre el sol y la Tierra. De esa relación concluyó las siguientes distancias:
Kepler había encontrado las relaciones geométricas para las distancias en el sistema solar, pero no sabía la escala, no sabía qué tan lejos estaba realmente una UA.
Aproximadamente medio siglo después, Cassini descubrió una forma de resolverlo aprovechando un concepto llamado paralaje.
Cassini decidió usar paralaje para determinar la distancia a Marte. Tenía un amigo llamado Richer que aceptaba observar a Marte al mismo tiempo que él, pero Richer lo haría desde la Guayana Francesa mientras que Cassini lo hacía desde París. Realizarían el experimento cuando Marte estuviera más cerca de la Tierra, básicamente colocando al Sol, la Tierra y Marte en línea recta. Observaron algo como esto:
Mientras que las estrellas extremadamente lejanas parecían estáticas, Marte, mucho más cerca, parecía estar en un lugar ligeramente diferente, debido al paralaje.
Debido a que Cassini sabía cuán separados estaban él y Richer, y sabía los ángulos involucrados en la observación, podía usar la trigonometría para determinar la distancia entre la Tierra y Marte.
Esa distancia es de unos 78 millones de kilómetros. Kepler nos dijo que la distancia entre la Tierra y Marte era de 0,52 UA.
Eso significa que la distancia Sol-Tierra de 1.0 UA sería de aproximadamente 1 50 millones de kilómetros .
Ahora que sabemos la distancia que podemos resolver para la masa.
La órbita de la Tierra es ligeramente elíptica, pero podemos simplificarla y pretender que es un círculo para nuestros propósitos. Para una órbita circular, la ecuación para determinar cuál sería la velocidad apropiada es:
Donde G es la constante gravitacional. M es la masa del sol. R es la distancia desde el centro del Sol a la Tierra. Reorganicemos esa ecuación para resolver M.
Cavendish descubrió G para nosotros:
G = 6.67384 × 10-11 m3 kg-1 s-2
Determinamos que R es:
R = 150,000,000,000 metros
Entonces necesitamos obtener v (velocidad orbital) para descubrir M.
La circunferencia de un círculo es: 
Por lo tanto, la circunferencia de la órbita de la Tierra es: 9.4245E + 11 metros
Hay 31,557,600 segundos en un año (que es una órbita), por lo que dividir esos dos da una velocidad promedio de 29,864.43 metros por segundo.
Conectar los V, R y G, nos da una masa para el sol de:
2.005738E + 30 kg
La masa real aceptada es 1.989E + 30 kg . Bajamos un 0,841%, no está mal. Si nos hubiéramos tomado el tiempo de usar la ecuación elíptica y valores más precisos para algunas de las variables, habríamos estado más cerca.
