La ecuación del cohete de Tsiolkovsky nos dice cómo la velocidad de escape efectiva, la masa inicial y final del cohete, y su velocidad máxima están relacionadas entre sí:
[matemática] v _ {\ rm final} = v _ {\ rm exhaust} \ ln \ frac {m _ {\ rm initial}} {m _ {\ rm final}} [/ math].
Entonces, en teoría, no hay límite, siempre y cuando esté dispuesto a construir un cohete lo suficientemente grande (posiblemente de varias etapas) y tener una carga útil lo suficientemente pequeña. Sin embargo, para establecer un límite práctico, supongamos que su cohete no puede ser más grande que un portaaviones grande, digamos, 100,000 toneladas métricas; y la carga útil debe ser del tamaño de un automóvil pequeño, 1 tonelada métrica. El logaritmo (natural) de la relación es de aproximadamente 11.5. La velocidad de escape típica de un cohete de combustible líquido sería de alrededor de 4,4 km / s; multiplicado por 11.5 da 50.6 km / s para la velocidad final del cohete.
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Entonces, el tamaño máximo de la Tierra estaría determinado por una velocidad de órbita terrestre baja (LOE) que no debería exceder este valor, 50.6 km / s. En realidad, la velocidad LOE es “solo” 7.8 km / s. La relación entre los dos es de aproximadamente 6.5. La velocidad LOE está determinada por la fórmula
[matemáticas] v _ {\ órbita órbita} = \ sqrt {\ frac {GM} {r}} [/ matemáticas],
donde M es la masa de la Tierra, r es su radio. Suponiendo que la densidad de la Tierra no cambia a medida que la haces más grande, su masa será proporcional al cubo de r ; la masa dividida por r y la raíz cuadrada, entonces, significa que el lado derecho de la ecuación anterior será proporcional a r .
En otras palabras, la Tierra puede tener hasta 6,5 veces su tamaño actual al tiempo que permite que los cohetes químicos de dimensiones prácticas alcancen la órbita.
Eso sí, en esta súper Tierra, la vida para nosotros sería bastante desagradable, ya que la gravedad superficial también sería 6.5 veces la gravedad superficial de la Tierra real. Una consecuencia sería que la atmósfera se debilitaría con la altitud mucho más rápidamente; Si la presión fuera la atmósfera habitual al nivel del mar, incluso en la cima de una montaña de tamaño modesto, el aire sería demasiado delgado para que podamos respirar. Por supuesto, esta es una buena noticia para los cohetes, ya que romper la espesa atmósfera más rápido significa menos pérdida de energía debido a la resistencia del aire.
