En una geometría de Schwarzschild, el movimiento geodésico de partículas masivas en el plano [math] (r, \ varphi) [/ math] puede describirse mediante la ecuación:
[matemáticas] \ frac {d ^ 2 r} {d \ tau ^ 2} + \ frac {M} {r ^ 2} – (1 – \ frac {3M} {r}) \ frac {l_ \ varphi ^ 2 } {r ^ 3} = 0 [/ matemáticas]
Aquí [math] l_ \ varphi [/ math] es el momento angular específico, y [math] \ tau [/ math] es el tiempo apropiado a lo largo del camino. Para velocidades pequeñas y pequeñas [matemáticas] \ frac {M} {r} [/ matemáticas] (gravedad débil) se puede demostrar que esto se reduce a la ecuación de la órbita newtoniana, también usando [matemáticas] d \ tau ^ 2 \ sim dt ^ 2 [/ matemáticas].
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Si desea ver una derivación detallada de esta ecuación, eche un vistazo a la ecuación encuadrada en la sección 5.3 de la siguiente referencia.
http://www2.warwick.ac.uk/fac/sc…
Verá que esta ecuación toma la forma de un hamiltoniano, y de esto la ecuación de movimiento anterior se puede encontrar fácilmente utilizando manipulaciones estándar.
Una solución de forma cerrada es realmente posible en términos de funciones elípticas de Jacobi, pero esto no es necesario aquí.
Para una órbita circular, tenemos
[matemáticas] \ frac {d ^ 2r} {d \ tau ^ 2} = 0 [/ matemáticas]
así que eso
[matemáticas] l_ \ varphi ^ 2 = \ frac {Mr ^ 2} {r- 3M} [/ math].
De esto vemos de inmediato dos cosas:
- El momento angular [matemática] l_ \ varphi [/ matemática] va a [matemática] \ infty [/ matemática] cuando [matemática] r \ rightarrow 3 M [/ matemática] o [matemática] r \ rightarrow \ infty [/ matemática] .
- El mínimo [matemática] l_ \ varphi [/ matemática] para una [matemática] M [/ matemática] dada ocurre en [matemática] r = 6M [/ matemática].
Por lo tanto, el radio mínimo de una órbita circular estable para una geodésica no nula será de [math] r = 6M [/ math], ya que un objeto que esté en una órbita circular estable en este radio necesitará aumentar su ángulo angular específico impulso por sí solo si se patea hacia adentro desde aquí.
Una partícula que orbita más allá de este radio puede caer hacia adentro al perder el momento angular, lo que puede suceder al irradiar energía. Entonces, en el caso de que haya materia que cae, se formará un disco de acreción en este radio, que irradiará fuertemente la energía.
Pero una partícula que cae libremente no puede aumentar su momento angular, lo que debe hacer para mantenerse estable en una órbita con un radio menor que el mínimo, por lo que simplemente entrará en espiral muy rápidamente, casi tan rápido como si estuviera en libertad caer directamente a lo largo de un radio, hasta llegar al límite de la masa central
Una descripción más detallada y precisa requeriría que establezcamos la relación real entre el tiempo apropiado y el tiempo de coordenadas a lo largo de la órbita, y también que observemos el comportamiento de las geodésicas nulas para completarlo, pero esta breve discusión es suficiente para dar una idea general .
La naturaleza de las órbitas alrededor de una masa compacta simétrica esférica es muy, muy diferente en relatividad general con gravedad fuerte que en la gravedad newtoniana.
La existencia de una órbita circular con un radio mínimo estable es una propiedad genérica de la geometría exterior de Scwharzschild.
Pero esto será relevante solo para un objeto que sea lo suficientemente compacto como para estar dentro del radio de la órbita circular estable mínima, ese radio se mide, por supuesto, en las coordenadas de Schwarzschild.
Tal órbita siempre existirá para los agujeros negros.
Pero también podría existir para las estrellas de neutrones si son lo suficientemente pequeñas como para que su radio esté dentro del radio de la órbita circular mínima estable.
Qué tan pequeña puede ser la masa de una estrella de neutrones es una pregunta abierta, y la relación radio vs masa también es una pregunta abierta. Las masas de estrellas de neutrones mejor determinadas son de púlsares binarios, y todas ellas se agrupan muy, muy estrechamente en el rango de 1.35-1.45 masas solares.
Hay algunas masas menos bien determinadas de púlsar / enana blanca y otros binarios, y una o dos de estas estrellas de neutrones parecen tener masas tan altas como 2 masas solares, pero que yo sepa, no se han encontrado estrellas de neutrones con un pozo. masa determinada de menos de aproximadamente 1 masa solar.
Hasta la fecha, todavía no existe una medición directa del radio de una estrella de neutrones. Se considera que el radio canónico es de aproximadamente 20 km, lo que para una estrella de neutrones de 1,4 de masa solar pondría el radio de la órbita circular mínima estable en aproximadamente 12,6 km, ligeramente dentro de la superficie de la estrella, pero es claramente algo muy cercano si está adentro o afuera: bien puede ser que tales estrellas compactas de neutrones realmente puedan existir.
