Consideraremos algunos diferentes (pero finalmente relacionadas o equivalentes) definiciones de un tensor.
Según el Diccionario de Ciencias y Tecnología de Chambers, un tensor es:
La generalización de un vector. Una entidad matemática especificable por un conjunto de componentes con respecto a un sistema de coordenadas y de tal manera que la transformación que tiene que aplicarse a los componentes para obtener componentes con respecto a un nuevo sistema de coordenadas está relacionada en un cierto camino a la transformación que tuvo que aplicarse al sistema de coordenadas.
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De acuerdo con Wolfram Mathworld:
Un tensor de rango n en el espacio m -dimensional es un objeto matemático que tiene n índices y componentes [matemáticos] m ^ n [/ matemáticos] y obedece ciertas reglas de transformación.
Cada índice de un tensor varía sobre el número de dimensiones del espacio. Sin embargo, la dimensión del espacio es en gran medida irrelevante en la mayoría de las ecuaciones tensoras (con la notable excepción del delta de Kronecker contraído). Los tensores son generalizaciones de escalares (que no tienen índices), vectores (que tienen exactamente un índice) y matrices (que tienen exactamente dos índices) a un número arbitrario de índices.
Los tensores proporcionan un marco matemático natural y conciso para formular y resolver problemas en áreas de la física, como la elasticidad, la mecánica de fluidos y la relatividad general.
De acuerdo con Wikipedia:
Así como un vector en un espacio n -dimensional está representado por una matriz unidimensional de longitud n con respecto a una base dada, cualquier tensor con respecto a una base está representado por una matriz multidimensional. Por ejemplo, una transformación lineal se representa en una base como una matriz cuadrada bidimensional n × n . Los números en la matriz multidimensional se conocen como los componentes escalares del tensor o simplemente sus componentes . Se denotan mediante índices que dan su posición en la matriz, como subíndices y superíndices, siguiendo el nombre simbólico del tensor. Por ejemplo, los componentes de un tensor de orden 2 T podrían denotarse Tij , donde i y j son índices que van de 1 a n , o también por [math] T_i ^ j [/ math] . Si un índice se muestra como un superíndice o subíndice depende de las propiedades de transformación del tensor, que se describe a continuación. El número total de índices necesarios para seleccionar de forma única cada componente es igual a la dimensión de la matriz y se denomina orden , grado o rango del tensor. Sin embargo, el término “rango” generalmente tiene otro significado en el contexto de matrices y tensores.
Definición. Un tensor de tipo ( p , q ) es una asignación de una matriz multidimensional
a cada base f = ( e 1,…, e n ) de un espacio vectorial n- dimensional fijo tal que, si aplicamos el cambio de baseentonces la matriz multidimensional obedece la ley de transformación
Para una definición más práctica de tensores:
Los componentes de un vector contravariante o un tensor contravariante de orden uno relativo a los sistemas de coordenadas ([matemática] x ^ i [/ matemática]) y ( [matemática] x ^ {‘i} [/ matemática]) obedecen la ley de transformación:
En las ecuaciones anteriores y en las siguientes ecuaciones se utiliza la notación de Einstein o la convención de suma de Einstein.
Los componentes de un vector covariante o un tensor covariante de orden uno obedecen la ley de transformación:
Los componentes de un tensor de orden contravariante o rango dos obedecen la ley de transformación:
Los componentes de un tensor covariante de orden o rango dos se transforman como:
Y los componentes de un tensor mixto de orden o rango dos se transforman como:
Los tensores de orden dos se pueden representar mediante matrices.
De manera similar, también se pueden definir tensores de orden superior (tensores de orden o rango arbitrario):
