Como usted dice, la persona en la Tierra encontrará que el tiempo pasa más lento en el planeta en órbita en comparación con el tiempo en la Tierra. Suponga que el planeta envía continuamente paquetes de radio a la Tierra, indicando su posición orbital en relación con algunas estrellas fijas. Cuando haya transcurrido el tiempo adecuado para completar una órbita alrededor del agujero negro en la Tierra, el mensaje de radio recibido por la Tierra dirá que la órbita aún no se ha completado. Otro ejemplo es: si una persona excesivamente locuaz en el planeta en órbita constantemente parlotea y transmite su discurso grandilocuente por radio, usted en la Tierra escuchará el discurso a una velocidad reducida.
¿Cómo sucede eso? Aquí viene la parte tl; dr:
Lo que realmente queremos resolver es la ecuación de la órbita [matemáticas] \ frac {dt} {d \ phi} [/ matemáticas] del planeta (deje que la órbita esté en el plano xy, que está permitido por la simetría, de modo que [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] es el ángulo en el plano). Una vez que tengamos eso, podemos ponerlo en la ecuación de la línea del mundo, ya sea del planeta en órbita o de la Tierra, para averiguar cuánto tiempo transcurre durante una órbita del planeta. Un punto importante es que necesitamos expresar todo en términos de las cantidades medibles [matemática] r [/ matemática] (radio orbital) y [matemática] M [/ matemática] (masa del agujero negro)
- ¿Qué pasa si los agujeros negros no existieran?
- ¿Cuáles son algunos métodos, incluidas las ecuaciones matemáticas, de generar gravedad artificial?
- ¿Cuánto es la fuerza de la gravedad cuando la tierra no gira?
- ¿Qué vino primero, la materia o la gravedad?
- ¿Es posible que un objeto acelere en presencia de la gravedad debido a un tiempo más lento?
Algunas configuraciones primero:
La métrica de Schwarzchild para un agujero negro estático es
[matemáticas] ds ^ 2 = g _ {\ alpha \ beta} (dx ^ {\ beta}) ^ 2 = – (1 – \ frac {2M} {r}) dt ^ 2 + (1 – \ frac {2M} {r}) ^ {- 1} dr ^ 2 + r ^ 2 d \ Omega ^ 2 [/ math]
[matemática] p ^ \ alpha = g ^ {\ alpha \ beta} p _ {\ beta} [/ matemática], donde [matemática] p [/ matemática] es el impulso de 4 con [matemática] p_0 = E [/ matemática ] (energía) y [matemáticas] p _ {\ phi} = L [/ matemáticas] (momento angular).
Debido a que la línea mundial puede ser parametrizada por la variable única [math] \ tau [/ math],
[matemáticas] \ frac {dt} {d \ phi} = \ frac {dt} {d \ tau} \ frac {d \ tau} {d \ phi} [/ math]
, por lo que necesitamos obtener los dos términos en el lado derecho. Piense en [math] \ frac {d \ phi} {d \ tau} [/ math] como la “tasa de cambio de [math] \ phi [/ math] a lo largo de la línea mundial”; en otras palabras, es el componente [matemático] \ phi [/ matemático] de la 4 velocidad [matemática] v = [v ^ 0, v ^ r, v ^ {\ phi}, v ^ {\ theta}] [/matemáticas]. Esto significa
[matemáticas] \ frac {d \ phi} {d \ tau} = \ frac {p ^ {\ phi}} {m} = \ frac {L} {mr ^ 2} [/ math]
y
[matemáticas] \ frac {dt} {d \ tau} = \ frac {p ^ 0} {m} = \ frac {E} {m (1-2m / r)} [/ matemáticas]
, lo que da:
[matemáticas] \ frac {dt} {d \ phi} = \ frac {E} {1-2m / r} \ frac {r ^ 2} {L} [/ matemáticas].
Pero esta última expresión tiene la energía y el impulso, que necesitamos expresar en términos de masa y radio. Para ello, use la condición de que una órbita requiere un radio estable: [matemática] \ frac {dr} {d \ tau} = \ frac {d ^ 2 r} {d \ tau ^ 2} = 0 [/ matemática].
Después de un largo álgebra que es inapropiado incluso para una sección tl; dr, obtenemos lo notablemente simple:
[matemáticas] \ frac {dt} {d \ phi} = \ sqrt {\ frac {r ^ 3} {M}} [/ matemáticas].
Según lo prometido, usamos esto en la ecuación de la línea del mundo. Lejos del agujero negro en la Tierra, ignorando la propia gravedad de la Tierra, el espacio-tiempo es plano ([matemática] g_ {00} = -1 [/ matemática]) y [matemática] dr = d \ phi = d \ theta = 0 [/ matemática ] (la tierra no se mueve), entonces el período
[matemáticas] T_ {tierra} = \ int \ sqrt {\ lvert ds ^ 2 \ rvert} = \ int dt = \ int \ frac {dt} {d \ phi} d \ phi = 2 \ pi r \ sqrt {\ frac {r} {M}} [/ math]
Sin embargo, el planeta en órbita tiene
[matemáticas] ds ^ 2 = g_ {00} dt ^ 2 + g _ {\ phi \ phi} d \ phi ^ 2 = – ((1- \ frac {2m} {r}) (\ frac {dt} {d \ phi}) ^ 2 + r ^ 2) d \ phi ^ 2 [/ math], entonces obtenemos (asumiendo el radio orbital [math] r = \ alpha M [/ math]
[matemáticas] T_ {órbita} = \ int \ sqrt {\ lvert ds ^ 2 \ rvert} = 2 \ pi r \ sqrt {\ lvert 3 – \ alpha \ rvert} [/ matemática]
Para comparación, suponga que [math] \ alpha = 10 [/ math]. Luego
[matemáticas] T_ {tierra} = 2 \ pi r \ sqrt {10} [/ matemáticas], mientras
[matemáticas] T_ {órbita} = 2 \ pi r \ sqrt {7} [/ matemáticas],
mostrando que el tiempo orbital es más lento que el tiempo en la Tierra.
