Primero obtengamos una declaración precisa de la regla de Born en la mecánica cuántica.
La regla de Born dice: si O es un operador Hermitean con un espectro discreto en un espacio H de Hilbert de estados cuánticos, que puede descomponerse en espacios propios del operador O, que tiene valores propios [math] \ lambda_i [/ math], y operadores de proyección en los subespacios [matemática] P_i [/ matemática], luego el resultado de cualquier medición del observable asociado con el operador O, en un sistema que tiene una función de onda normalizada [matemática] \ vert \ psi \ rangle [/ matemática] que por supuesto está contenido en el espacio H, será uno de los valores propios de O con probabilidad [matemática] \ langle \ psi \ vert P_i \ vert \ psi \ rangle [/ math].
Eso es. Esa es la regla del Born.
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Ahora, para el pozo cuadrado infinito, el espectro de energía es discreto, por lo que, por ejemplo, el operador hamiltoniano es una posibilidad para O. Podríamos expandir la función de onda en términos de estados propios de energía. Una vez que hayamos hecho esto y normalizado toda la función de onda, no importa si hemos normalizado los estados propios de energía individuales o no, pero sería una práctica estándar hacerlo primero y no alterará ni violará la regla de Born si lo hacemos. . Este es un cálculo sencillo.
En el caso de que no haya degeneraciones en los subespacios de O, es fácil demostrar que la regla de Born da como resultado la afirmación más habitual de que el módulo al cuadrado de la función de onda da la probabilidad.
El tratamiento del caso más general que involucra a operadores con espectros que involucran un continuo es más complicado: hay aguas matemáticas más profundas para nadar allí. Pero es posible definir una medida en la que funcionará la regla de Born, dadas las suposiciones adecuadas.
Sin la regla de Max Born no hay absolutamente ninguna duda: no hay una nueva teoría cuántica. Heisenberg no entendió la regla y tampoco Schrödinger. Es independiente del resto.