¿A qué distancia de la tierra es su gravedad un 19% menor? ¿Cómo calculo diferentes ejemplos?

Gravedad a una distancia h de la Tierra = GM / (R + h) ^ 2
(R y M son respectivamente el radio y la masa de la Tierra)
GM / (R + h) ^ 2 = GM / R ^ 2 * (1 + h / R) ^ 2 -> (1)
Ahora gravedad en la superficie de la tierra = GM / R ^ 2 = g
Entonces, por la ecuación (1) gravedad a una altura desde la superficie de la Tierra = g / (1 + h / R) ^ 2

Tenemos que encontrar la altura donde la gravedad es un 19% menor, es decir, donde la gravedad es el 81% de la gravedad en la superficie.
81% de g = 81g / 100 = g / (1 + h / R) ^ 2
(1 + h / R) ^ 2 = 100/81
1 + h / R = 10/9
h / R = 1/9
h = R / 9 = altura requerida.

De acuerdo con la ley de gravitación de Newton, la fuerza de la gravedad, [matemática] F [/ matemática], se puede calcular utilizando [matemática] F = G \ frac {M_1M_2} {d ^ 2} [/ matemática].

Sabemos que [math] F = ma [/ math] de la segunda ley de movimiento de Newton.

Entonces:
[matemáticas] a = \ frac {F} {m} [/ matemáticas]

Entonces, para la fuerza gravitacional sobre una masa ([matemática] m [/ matemática]) causada por la masa de la Tierra ([matemática] M [/ matemática]) en la superficie de la Tierra tenemos:
[matemáticas] a = \ frac {F} {m} = \ frac {G \ frac {mM} {r ^ 2}} {m} = \ frac {GM} {r ^ 2} [/ math]
Dónde
G es la constante gravitacional universal.
M es la masa de la tierra
r es el radio de la Tierra
Entonces el resultado es la aceleración gravitacional de la Tierra en la superficie [matemática] g [/ matemática] ([matemática] \ aprox 9.8 [/ matemática])

Queremos encontrar la altura ([matemática] h [/ matemática]) de la superficie de la Tierra donde la aceleración gravitacional es [matemática] n \% [/ matemática] de la superficie.

Entonces:
[matemáticas] F_h = \ frac {n} {100} \ veces F_s [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {GM} {(r + h) ^ 2} = \ frac {nGM} {100 \, r ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 100 \, r ^ 2 = n (r + h) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {100r ^ 2} {n} = (r + h) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {10r} {\ sqrt {n}} = r + h [/ matemáticas]

[matemáticas] h = \ frac {10r} {\ sqrt {n}} – r = r (\ frac {10} {\ sqrt {n}} – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {h} {r} = \ frac {10} {\ sqrt {n}} – 1 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que nuestra pregunta dice un 19% menos, por lo que [matemáticas] g ‘= 0.81 g [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 81 [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] \ frac {h} {r} = \ frac {10} {\ sqrt {81}} – 1 = \ frac {1} {9} [/ matemáticas] y podemos decir [matemáticas] h = \ frac {1} {9} r [/ math] que es [math] \ frac {1} {9} [/ math] radio de la Tierra que es igual a [math] \ frac {6371_ {km}} {9} \ aproximadamente 708_ {km} [/ matemáticas]

Espero que haya sido de ayuda.
Bests.

La aceleración gravitacional cae como [math] \ frac {1} {r ^ {2}} [/ math]. A una distancia [matemática] 1 R [/ matemática] (R = radio de la Tierra), la aceleración es tal como la conocemos. A una distancia [matemática] 2R [/ matemática], la aceleración es 4 veces menor (0.25). En [matemáticas] 3R [/ matemáticas], 9 veces menor (0.111 …).

Desea saber cuándo [math] \ frac {1} {r ^ {2}} = 0.81 [/ math] (porque 100% -19% = 81%). Esto es [matemáticas] \ sqrt {\ frac {1} {0.81}} = 1.111… R [/ matemáticas].