La idea básica detrás de cualquier tipo de problema de similitud, ya sea en mecánica de fluidos o no, es que podemos descubrir cómo se relacionan las diversas escalas para las variables independientes. Si sabemos cómo se escalan las variables, entonces podemos relacionar las variables independientes juntas y, con suerte, crear una nueva variable que escala con la solución para que podamos mapear muchas soluciones diferentes entre sí.
El ejemplo clásico es la placa impulsada impulsivamente donde tenemos una placa en un fluido inactivo que de repente comienza a moverse con cierta velocidad. El líquido más cercano a la placa comienza a moverse y gradualmente arrastra cada vez más líquido de la placa. En este problema, las dos variables independientes están lejos, [matemática] x [/ matemática], de la placa y el tiempo, [matemática] t [/ matemática]. Reconocemos que ninguna de estas variables tiene una escala característica en el problema y también reconocemos que la escala de longitud es probablemente una función del tiempo (o consideremos lo contrario: la escala de tiempo es probablemente una función de la distancia desde la placa). No analizaré todo el problema en sí (que puede encontrar aquí: solución de similitud) pero quiero señalar otra característica clave: las condiciones de contorno deben correlacionarse entre sí de alguna manera.
En este problema, solo tenemos una condición límite bien definida y una condición inicial
[matemáticas] u (x = 0, t) = U_0, [/ matemáticas]
[matemáticas] u (x, t = 0) = 0, [/ matemáticas]
y un tipo de condición límite difusa
[matemáticas] u (x = \ infty, t) = 0 [/ matemáticas]
que depende de lo que podamos considerar “infinito” en un problema del mundo real.
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Sin embargo, el punto aquí es que en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ infty [/ matemáticas], básicamente tenemos la misma condición, por lo que podemos predecir que las dos variables pueden mapearse entre sí de manera inversa. Aunque no tenemos una condición de tiempo infinito, también debemos asegurarnos de que el problema sea coherente a este respecto y sí, cuando [math] t = \ infty [/ math] esperaríamos que todo el dominio tenga [ matemática] u = U_0 [/ matemática], que es la condición límite en [matemática] x = 0 [/ matemática].
Y esto, por supuesto, no se limita solo a la mecánica de fluidos y también se puede aplicar a cualquier problema de transporte (calor, especies o impulso) con condiciones de límite similares. Entonces, si está buscando aplicar una solución de similitud a un problema, debe hacerse estas preguntas:
a) ¿Pueden las dos escalas en el problema estar relacionadas entre sí?
b) ¿Son las condiciones de contorno / condiciones iniciales el mismo valor en algún lugar para que puedan mapearse entre sí?
c) Por lo general, pero no siempre, al menos una de estas variables no está vinculada y, por lo tanto, también debe buscar una condición de límite “infinito”.
Actualizaré la respuesta con algunas cifras cuando tenga la oportunidad.
EDITAR: esta respuesta en el intercambio de pila proporciona una buena imagen de la situación
Auto semejanza para slowpokes
