La energía potencial gravitacional está relacionada con la fuerza por la ecuación
[matemáticas] U = – \ displaystyle \ int \ vec {F (r)} \ cdot \ vec {\ mathrm {d} r} [/ math].
Usando la Ley de Gravitación de Newton puedes encontrar la expresión de energía potencial:
- Si Newton sabía que algo andaba mal con la gravedad, ¿por qué sus resultados eran tan correctos?
- ¿Es posible el transporte de tubo neumático tierra-espacio?
- ¿Qué es lo que hace que algunas fuerzas como la gravedad y EM alcancen infinito, mientras que otras son de corto alcance?
- ¿Por qué la fuerza gravitacional es inversamente proporcional al cubo de la distancia en el caso de los planetas?
- Si tenemos tanta masa y gravedad, ¿por qué el universo no vuelve a ser muy pequeño?
[matemáticas] \ vec {F (r)} = – \ dfrac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ rightarrow [/ math]
[matemáticas] U = – \ displaystyle \ int – \ dfrac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ mathrm {d} r [/ math]
[matemáticas] = – \ dfrac {Gm_1m_2} {r} [/ matemáticas].
Otra forma de pensar en esto es que la fuerza es el gradiente negativo (léase “derivada”) de la energía potencial.
[matemáticas] \ vec {F (r)} = – \ dfrac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} r} [/ math]
Ahora hay una cosa molesta sobre la ecuación para la fuerza gravitacional. Para describirlo necesitas dos objetos. ¿Qué sucede si quisiera hablar sobre las propiedades gravitacionales intrínsecas de alguna masa [matemática] m_1 [/ matemática]? La forma en que se hace esto es dividiendo la fuerza por la segunda masa que no te importa; Esta es la definición del campo gravitacional [matemática] \ vec {g (r)} [/ matemática].
[matemáticas] \ vec {g (r)}: = \ dfrac {\ vec {F (r)}} {m_2} \ rightarrow [/ math]
[matemáticas] \ vec {g (r)} = – \ dfrac {Gm_1} {r ^ 2} [/ matemáticas]
Ahora que tiene el campo gravitacional de [math] m_1 [/ math], si quisiera saber la fuerza entre los dos cuando se introduce una segunda masa, la fuerza podría encontrarse simplemente multiplicando [math] m_2 \ vec {g (r)} [/ matemáticas].
Volvamos a la ecuación que relaciona la fuerza con la derivada de la energía potencial.
[matemáticas] \ vec {F (r)} = – \ dfrac {\ mathrm {d} U} {\ mathrm {d} r} [/ math]
Si dividimos ambos lados entre [math] m_2 [/ math] y lo ponemos dentro de la derivada porque es una constante obtenemos:
[matemáticas] \ vec {g (r)} = – \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r} \ bigg (\ dfrac {U} {m_2} \ bigg) [/ math].
¿Cuál es la energía potencial dividida por [matemáticas] m_2 [/ matemáticas]? ¡Es lo que se define como potencial gravitacional! Al igual que el campo gravitacional, es una propiedad intrínseca de [math] m_1 [/ math]. El potencial gravitacional generalmente recibe el símbolo [math] Φ [/ math]. Recordando la expresión para la energía potencial gravitacional de antes, la expresión para el potencial es
[matemáticas] Φ = – \ dfrac {Gm_1} {r} [/ matemáticas].
Si ha estudiado electrodinámica en casi cualquier nivel, aquí están las conexiones entre estas cantidades y sus análogos directos en electrodinámica:
Fuerza gravitacional [matemática] \ leftrightarrow [/ matemática] fuerza eléctrica
Campo gravitacional [matemática] \ leftrightarrow [/ matemática] campo eléctrico
Energía potencial gravitacional [matemáticas] \ leftrightarrow [/ matemáticas] energía potencial eléctrica
Tensión de potencial gravitacional [matemática] \ leftrightarrow [/ matemática]
Entonces, ¿cuál es el potencial gravitacional? ¡Es lo que toma el gradiente negativo para obtener el campo gravitacional!
¡Lo importante para recordar es que la fuerza y el campo son vectores y la energía potencial y el potencial son escalares !
Lo siento si esto fue un poco largo pero espero que haya ayudado.