¿Qué es lo que hace que algunas fuerzas como la gravedad y EM alcancen infinito, mientras que otras son de corto alcance?

Hay dos formas principales de responder a esta pregunta, las cuales creo que son esclarecedoras.

La primera respuesta, en la que no entraré mucho, ya que es muy similar a la respuesta de Steve Zara, pero, esencialmente, las partículas pesadas como los bosones [matemática] Z [/ matemática] y [matemática] W [/ matemática] pueden No vives mucho, porque son muy pesados. Recuerde que la posición y el momento no solo tienen una relación de incertidumbre, sino que la energía y el tiempo también. Por lo tanto, estas partículas virtuales pesadas (“virtual” es un término técnico que significa que “prestado del vacío” y “no observado”) no pueden vivir mucho tiempo, ya que más energía significa menos tiempo. Sin embargo, no me gusta mucho esta respuesta; se siente “hacky” para mí. Así que vamos a abordar esto de manera muy diferente. Sospecho que la mayoría de los lectores no van a seguir muy bien las matemáticas, está bien, es muy complicado. De hecho, mi nueva serie de blogs tiene como objetivo llevar al lector a un punto donde pueda entenderlo. Por ahora, sin embargo, solo voy a pedirte que confíes en mí de que lo que estoy haciendo es correcto.

De todos modos, primero veamos una de las “fuerzas de corto alcance”, la interacción fuerte residual. Esto es lo que evita que los protones y los neutrones se separen en núcleos atómicos. En la década de 1930, a Hideki Yukawa se le ocurrió lo que ahora se llama el modelo pion de la fuerza fuerte, que es una teoría que tiene un estilo hamiltoniano.

[matemáticas] H _ {\ text {Yukawa}} = H _ {\ text {Dirac}} + H _ {\ text {Klein-Gordon}} + \ displaystyle \ int d ^ 3x g \ bar {\ psi} \ psi \ phi [/matemáticas]

donde [math] \ psi [/ math] es un campo spinor, [math] g [/ math] es una constante de acoplamiento para la teoría y [math] \ phi [/ math] es un campo escalar (el campo pion, que media la interacción spinor). El campo [math] \ psi [/ math] a veces se parece un poco a esto:

[matemáticas] \ psi (x) = e ^ {- ip \ cdot x} u ^ s (p) | 0 \ rangle [/ matemáticas]

donde [math] u ^ s [/ math] es un spinor ([math] s [/ math] es un índice de spinor, que funciona de manera muy similar a los índices en vectores y tensores) que es una función del momento y [math] | 0 \ rangle [/ math] es el estado de vacío. (En general, [matemática] u [/ matemática] [matemática] ^ s [/ matemática] y [matemática] v ^ s [/ matemática] son ​​hiladores Dirac de 4 componentes; sin embargo, el índice [matemática] s [/ matemática ] corre entre uno y dos, no de cero a 3 como la mayoría de los tensores. Como puede ver a continuación, cada índice se asigna a dos espinas Weyl de dos componentes). [math] u ^ s (p) [/ math] está compuesto por dos hiladores Weyl de dos componentes [math] \ xi ^ s [/ math] de modo que

[matemáticas] u ^ s (p) = \ sqrt {m} \ begin {pmatrix} \ xi ^ s \\ \ xi ^ s \ end {pmatrix} [/ math]

y [math] \ xi ^ s [/ math] se normalizan de modo que

[matemáticas] \ xi ^ {s ‘\ dagger} \ xi ^ s = 2m \ delta ^ {ss’} [/ math]

donde [math] \ delta ^ {ss ‘} [/ math] es el delta de Kronecker.

Por lo general, sin embargo, los resolvemos tomando la transformada de Fourier del campo spinor espacio-momento.

Para encontrar el campo potencial para los piones (el potencial Yukawa), tenemos que descubrir cómo interactúan. Para eso, comenzamos (en realidad, calculamos, pero eso es demasiado complicado para esto) desde la amplitud de dispersión,

[matemáticas] i \ mathcal {M} = \ dfrac {ig ^ 2} {q ^ 2-m _ {\ phi} ^ 2} \ bar {u} (p ‘) u (p) \ bar {u} (k ‘) u (k) [/ matemáticas]

donde [matemática] q = pp ‘= k’-k [/ matemática] donde [matemática] p [/ matemática] es el impulso entrante y [matemática] k [/ matemática] es el impulso saliente, y [matemática] m_ { \ phi} [/ math] es la masa de un modo de Fourier (una partícula) del campo escalar.

Podemos expresar el impulso de cuatro vectores [matemática] p [/ matemática] como [matemática] p = \ langle E, \ textbf {p} \ rangle [/ matemática], que conduce a, en el límite no relativista,

[matemáticas] i \ mathcal {M} = \ dfrac {ig ^ 2} {\ textbf {q} ^ 2 + m _ {\ phi} ^ 2} 4m ^ 2 \ delta ^ {ss ‘} \ delta ^ {rr’ }[/matemáticas]

dónde

[matemáticas] \ textbf {q} = | \ textbf {p} ‘- \ textbf {p} | [/ math]

Ahora, hacemos un poco de magia (técnicamente, tomamos la acción de [matemáticas] i [/ matemáticas] veces la matriz [matemáticas] T [/ matemáticas] en los estados de impulso, pero eso es para otro momento) para encontrar un expresión para la transformada de Fourier del potencial,

[matemáticas] \ tilde {V} (\ textbf {q}) = \ dfrac {-g ^ 2} {| \ textbf {q} | ^ 2 + m _ {\ phi} ^ 2} [/ matemáticas]

Para obtener el potencial en función de la posición, tomamos la transformación de Fourier de la expresión (que se puede hacer con una combinación de polvo de hadas, Mathematica y la sangre de una virgen), lo que nos lleva a

[matemáticas] V (r) = \ displaystyle \ int \ dfrac {d ^ 3q} {(2 \ pi) ^ 3} \ dfrac {-g ^ 2} {| \ textbf {q} | ^ 2 + m _ {\ phi} ^ 2} e ^ {i \ textbf {p} \ cdot \ textbf {x}} [/ math]

Esto se reduce a

[matemáticas] V (r) = \ dfrac {-g ^ 2} {i4 \ pi ^ 2r} \ displaystyle \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} dq \ dfrac {qe ^ {iqr}} { q ^ 2 + m _ {\ phi} ^ 2} [/ matemáticas]

Cerrando el contorno de la integral desde arriba y tomando el residuo del polo simple en [math] q = im _ {\ phi} [/ math], ahora vemos que

[matemáticas] V (r) = – \ dfrac {g ^ 2} {4 \ pi r} e ^ {- m _ {\ phi} r} [/ matemáticas]

Este potencial es como [math] \ dfrac {e ^ {- x}} {x} [/ math], por lo que deberías poder ver que disminuye increíblemente rápidamente. Tan rápido, de hecho, que rápidamente llega efectivamente a cero (especialmente porque es efectivo en el rango de un núcleo atómico).

El electromagnetismo es, de hecho, esencialmente lo mismo que la teoría de Yukawa (es un poco diferente, pero no demasiado para nuestros propósitos) con [matemáticas] m _ {\ phi} = 0 [/ matemáticas], lo que nos lleva al potencial electromagnético de Coulomb ,

[matemáticas] V (r) \ propto \ dfrac {1} {r} [/ matemáticas]

Como puede ver, esto disminuye mucho, mucho más lentamente que el potencial Yukawa, ya que no tiene un término exponencial. La gravedad es bastante similar a este respecto. Esto es esencialmente por qué las teorías con portadores de fuerza masivos tienen rangos cortos, y los sin masa tienen rangos largos. Lo siento si esto fue demasiado difícil de seguir, pero requiere bastante acumulación.

Esto se debe a las diferencias entre las partículas que transportan las fuerzas. Los portadores de las fuerzas EM, los fotones, no tienen masa, y tampoco los portadores de gravedad (suponiendo que existan), los gravitones. Las fuerzas son transportadas por partículas virtuales, partículas que son ‘prestadas’ del vacío. Cuánto tiempo pueden existir estas partículas depende de sus masas, debido al Principio de incertidumbre. Las partículas sin masa se pueden ‘prestar’ para siempre, por lo que no hay límite en la distancia entre las partículas que afectan.

La fuerza nuclear débil es llevada por los bosones W y Z, que son pesados. Solo pueden existir por un corto tiempo y, por lo tanto, el alcance de la fuerza es extremadamente pequeño.

La fuerza nuclear fuerte es bastante diferente. Es transportado por partículas llamadas gluones que no tienen masa pero se atraen entre sí. Debido a esto, no son libres de viajar largas distancias.