Si espera una fórmula ordenada para velocidades perpendiculares, desafortunadamente no hay una respuesta fácil. En el momento en que consideramos algo más que velocidades paralelas, se debe poner en juego toda la maquinaria de las transformaciones de Lorentz. (Bien, bueno, es posible jugar alrededor de los vectores de velocidad de descomposición en componentes paralelos y perpendiculares, pero no lo encuentro particularmente útil o esclarecedor: ver, por ejemplo, la fórmula de adición de velocidad en Wikipedia).
La matriz de 4 dimensiones proporciona un impulso de Lorentz correspondiente a una velocidad [matemática] v_1 [/ matemática] en la dirección [matemática] x [/ matemática]
[math] \ Lambda_1 = \ begin {pmatrix} \ gamma_1 & – \ gamma_1 \ beta_1 & 0 & 0 \\ – \ gamma_1 \ beta_1 & \ gamma_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}, [/ math]
- ¿Es teóricamente posible que una máquina viaje a la velocidad de la luz?
- ¿Por qué la luz infrarroja sería más caliente que la luz visible, que tiene más energía?
- Cómo encontrar el vector de velocidad relativa del objeto a con respecto al objeto b que es perpendicular a un
- ¿Cuál es la velocidad de la tierra tierra en relación con la velocidad de la luz?
- ¿Cómo sabemos con certeza que nada puede moverse más rápido que la velocidad de la luz, ya que si lo hiciera no podríamos verlo?
donde utilicé las definiciones abreviadas estándar [matemáticas] \ beta_1 = v_1 / c [/ matemáticas], [matemáticas] \ gamma_1 = 1 / \ sqrt {1- \ beta_1 ^ 2} [/ matemáticas]. Se supone que las cuatro coordenadas son [matemáticas] [t, x, y, z] [/ matemáticas].
Del mismo modo, un impulso de Lorentz correspondiente a una velocidad [matemática] v_2 [/ matemática] en la dirección [matemática] y [/ matemática] viene dada por
[math] \ Lambda_2 = \ begin {pmatrix} \ gamma_2 & 0 & – \ gamma_2 \ beta_2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ – \ gamma_2 \ beta_2 & 0 & \ gamma_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}. [/ math]
Su producto … bueno, como la multiplicación de matrices no es conmutativa, ¡incluso el orden importa! Generalmente, [math] \ Lambda_1 \ cdot \ Lambda_2 \ ne \ Lambda_2 \ cdot \ Lambda_1 [/ math]. No importa, calculemos el primero de estos dos productos:
[matemáticas] \ Lambda_1 \ cdot \ Lambda_2 = \ begin {pmatrix} \ gamma_1 \ gamma_2 & – \ gamma_1 \ beta_1 & – \ gamma_1 \ gamma_2 \ beta_2 & 0 \\ – \ gamma_1 \ gamma_2 \ beta_1 & \ gamma_1 & \ gamma_1 \ gamma_2 \ beta_1 \ beta_2 \\ – \ gamma_2 \ beta_2 & 0 & \ gamma_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}. [/ math]
Esta matriz desordenada no es un impulso de Lorentz. De hecho, es una combinación de un impulso de Lorentz (correspondiente a cierta velocidad en el plano [matemático] xy [/ matemático]) y una rotación espacial (nuevamente en el plano [matemático] xy [/ matemático]).
Sin embargo, al menos podemos obtener la magnitud de la velocidad resultante de esta matriz, ya que el componente superior izquierdo de la matriz no se ve afectado por la rotación espacial. Está determinado únicamente por el impulso de Lorentz. Un poco de álgebra trivial te dice la magnitud:
[matemáticas] v = \ sqrt {v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2-v_1 ^ 2v_2 ^ 2 / c ^ 2}. [/ matemáticas]
Sin embargo, no existe una fórmula fácil (que yo sepa) para calcular la dirección de este vector de velocidad.
