Para los fotones y para otras partículas en movimiento podemos definir el llamado vector Pauli-Lubanski, que es el Hodge dual del producto de cuña del tensor de momento angular, o el generador de impulsos y rotaciones, y el generador de traslaciones, y que es también el generador del pequeño grupo del grupo de Lorentz, que es ese subgrupo del grupo completo que deja los cuatro ímpetu [matemática] P_ \ mu [/ matemática] de la partícula invariante. Las partículas se clasifican diciendo a qué representación irreducible del grupo completo de Lorentz al que pertenecen.
El vector Pauli-Lubanski se escribe en términos de los generadores del grupo Poincaré, [math] P_ \ mu [/ math] y [math] M _ {\ mu \ nu} [/ math] como:
[matemáticas] W_ \ mu = \ frac {1} {2} \ varepsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ alpha} M _ {\ nu \ rho} P_ \ alpha. [/ math]
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El tensor de momento angular [matemática] M _ {\ mu \ nu} [/ matemática] es totalmente antisimétrico y puede construirse a partir de los generadores de rotaciones [matemática] J_i, [/ matemática] y de potenciadores [matemática] K_i [/ matemática] de la siguiente manera: [matemática] M_ {0i} = K_i [/ matemática] y [matemática] M_ {ij} = \ epsilon_ {ijk} J_k [/ matemática].
Ahora [math] W_ \ mu W ^ \ mu [/ math] se muestra fácilmente como un operador Casimir del grupo completo de Lorentz y se dice que el valor propio de este operador caracteriza el giro de una representación.
También tenemos muy claramente en general, por construcción, que [matemática] P_ \ mu W ^ \ mu = 0. [/ Matemática]
Entonces, el “producto escalar” del vector de espín, que podemos considerar como el vector Pauli-Lubanski, y el impulso cuatro, siempre desaparece y esto no necesita interpretación intuitiva.
El caso en el que el valor propio de [matemática] P ^ 2 = P_ \ mu P ^ \ mu = 0, [/ matemática] o de partículas sin masa es especial, en este caso resulta el valor de [matemática] W ^ 2 [/ math] no necesita ser cero. Sin embargo, es posible que los componentes espaciales de [matemática] W_ \ mu [/ matemática] sean paralelos a los componentes espaciales de [matemática] P_ \ mu [/ matemática] o que [matemática] W_ \ mu [/ matemática] tenga Componentes espaciales transversales.
El fotón y todas las demás representaciones sin masa de espín discreto caen en el primer caso, y en el caso del fotón, que tiene espín uno, resulta que la invariante [matemática] W ^ 2, [/ matemática] aunque [matemática] W ^ 2 = 0 [/ math], se reduce a un operador helicidad que tiene dos valores posibles. Es decir, tenemos [math] W_ \ mu = \ lambda P_ \ mu, [/ math] (en tal representación) donde [math] \ lambda [/ math] tiene dos valores.
Las representaciones sin masa fundamentales son los fermiones de Weyl, con spin 1/2: todas las otras representaciones de espín discretas, tanto sin masa como masivas, se pueden construir a partir de ellas, y estas tienen izquierda o derecha). Helicidad entregada. El campo de giro 1 puede construirse como una suma directa de los fermiones Weyl diestros y zurdos: [matemática] (\ frac {1} {2}, 0) \ oplus (0, \ frac {1} {2}). [/matemáticas]
El significado intuitivo de esto es que el fotón tiene dos posibles polarizaciones: llámelas, por ejemplo, circular izquierda y circular derecha.
El otro caso conduce a las representaciones de giro continuo, que son mucho menos conocidas.
Aquí hay una buena discusión elemental de la teoría de la representación y la construcción de spin 0,1 / 2 y 1 campos.
http://www2.ph.ed.ac.uk/~s094835…
