Definitivamente se trata de condiciones límite. Los electrones deslocalizados deben permanecer dentro del cristal, por lo que sus funciones de onda deben desaparecer en sus límites. El vector de onda [math] \ vec {k} = \ vec {p} / \ hbar [/ math] no tiene un rango continuo de valores permitidos. Imagine una red cristalina cúbica de una longitud [matemática] L [/ matemática] en un lado y etiquete las tres direcciones de los bordes [matemática] x, y, z [/ matemática]. El componente [math] x [/ math] de [math] \ vec {k}, k_x = 2 \ pi / \ lambda_x, [/ math] solo puede tener valores que se ajusten a un número entero de medias longitudes de onda en [math] L = n_x \ lambda_x / 2 [/ math] para que la función de onda tenga nodos en el límite del cristal. Entonces resulta que hay una densidad de estados permitidos en [math] k [/ math] -space que depende del volumen del cristal. Consulte, por ejemplo, http://jick.net/skept/k-space/ o http://jick.net/skept/k-space/k-… para obtener más detalles.
Comenzamos rellenando los estados de menor energía (aquellos con las longitudes de onda más largas) y luego agregamos los de mayor energía; eventualmente (a veces, dependiendo de cuántos electrones se deslocalizan en el cristal) llegamos hasta el punto donde hay una media longitud de onda entre iones adyacentes en el cristal; en ese punto hay dos formas en que la función de onda puede alinearse: ya sea con la probabilidad “acumulada en los iones” (menor energía porque los iones positivos “les gustan” a los electrones negativos) o con nodos en los iones y la probabilidad acumulada entre (mayor energía por la misma razón); Esto da una “brecha de banda” con todos los fenómenos asociados interesantes.
Con suficientes electrones podemos llegar al segundo intervalo de banda donde hay una longitud de onda completa entre iones adyacentes; y así.
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Finalmente, el último electrón libre entra en la energía de Fermi, que para algunos buenos metales es ligeramente relativista.
