Murmurar sobre el espacio curvo es inevitable. 😉
Ya estás familiarizado con el espacio euclidiano, que es recto y plano. Tomemos un espacio 2D por ahora. ¿Qué es una línea recta en ese espacio? Puede describirlo con un conjunto de ecuaciones lineales x = fx (t), y = fy (t), por lo que para cada t tiene un punto (x, y) que pertenece a esta línea. La línea es recta significa que las primeras derivadas de fx y fy son constantes, por lo que las segundas derivadas son cero.
Ahora imagine otro espacio 2D: superficie de la Tierra, con longitud y latitud como coordenadas. ¿Qué significa moverse en línea recta en ese espacio? Si sale de Londres en un avión en la dirección este exacta, su velocidad en sus coordenadas locales es latitud cero y alguna longitud distinta de cero. La velocidad de latitud cero significa que te estás moviendo a lo largo de la dirección oeste-este, no significa que tu latitud real sea cero, solo se trata de la dirección. Entonces, ¿cómo cambian sus coordenadas mientras vuela lo más recto posible? Tu latitud no puede permanecer igual, tendrás que seguir girando a la izquierda para seguir así. Si no gira hacia la izquierda o hacia la derecha, su latitud comenzará a disminuir y disminuirá más y más rápido. Entonces, aunque su velocidad de latitud inicial era cero, ahora está cambiando a medida que se mueve en línea recta, parece una aceleración en términos de latitud. Tu velocidad de longitud también está cambiando. Otra pregunta: ¿cómo mide la distancia entre dos puntos cercanos si conoce sus coordenadas en longitud y latitud? No se puede usar Pitágoras, un grado de longitud significa cosas muy diferentes en Oslo y en El Cairo. Necesita alguna función de conversión que sería diferente (use diferentes coeficientes) en diferentes puntos del espacio. Este es un ejemplo de coordenadas no cartesianas y un espacio curvo. Y los coeficientes para solicitar coordenadas en la fórmula de Pitágoras son esencialmente lo que significa tensor métrico.
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Ahora volvamos a la relatividad general y al espacio 4D (donde la dimensión cero es el tiempo). Un objeto en caída libre (uno que no experimenta fuerzas externas, y la gravedad es _no_ tal fuerza en GR) se mueve en línea recta. ¿Qué es una línea recta en el espacio 4D? Nuevamente, puede usar un conjunto de ecuaciones como x = fx (s), y = fy (s), z = fz (s) y t = ft (s). Mira, el tiempo es solo una de las dimensiones, por lo que elegimos otra variable s para ser un parámetro para nuestro camino. La ruta recta significa que las segundas derivadas de fx, fy, fz y ft deben ser cero, pero eso solo funcionaría en un espacio plano. En el espacio curvo, al igual que con la longitud y la latitud, necesitamos aplicar algunas correcciones en cada punto para mantener el movimiento recto. Al igual que con el avión de arriba, moverse en línea recta significa que diferentes partes de nuestro vector de velocidad en coordenadas locales pueden cambiar de un punto a otro, y parece una aceleración en coordenadas locales. En geometría, esto se trata mediante el uso de “derivada covariante”: la ruta recta significa no solo derivadas ordinarias constantes en coordenadas locales, sino derivada covariante constante, que se calcula a partir de derivadas habituales agregando algunas correcciones tomadas de la forma en que los vectores base cambian en esos puntos. Estas correcciones, que provienen de una curvatura del espacio distinta de cero, significan que si se mueve en línea recta y mantiene constante la derivada covariante, sus derivadas habituales de fx, fy, fz, ft no son constantes, es decir, experimenta aceleración en términos de coordenadas locales, al igual que con la latitud y el avión. Esto es lo que dice esencialmente la ecuación geodésica: durante el movimiento recto, su aceleración local aparente se define mediante ciertos símbolos de Christoffel de aspecto extraño que se calculan a partir de derivadas de ciertas partes de valores de tensor métrico. Lo que significa que si su métrica se ve principalmente euclidiana para coordenadas espaciales pero el coeficiente de tiempo depende de su altitud actual (distancia a la Tierra), entonces este coeficiente de tiempo dará la única parte distinta de cero en los símbolos de Christoffel y eso a su vez creará aceleración en la dirección de cambio de ese coeficiente. Dado que cambia a medida que te mueves hacia arriba o hacia abajo, esta es la dirección en la que obtendrás aceleración.
