Sin hacer ninguna suposición sobre cómo se distribuye la masa, creo que la siguiente es la forma más sencilla de hacerlo. Recuerde que si el disco [matemática] D_1 [/ matemática] de radio [matemática] a [/ matemática] tiene una función de densidad de masa superficial [matemática] \ sigma (x, y) [/ matemática], entonces el momento de inercia [ matemáticas] I [/ matemáticas] será dado por
[matemáticas] \ displaystyle I = \ oint_ {D_1} r ^ 2 \ sigma \ mathrm {d} S [/ math]
Ahora, para el disco [matemática] D_2 [/ matemática] con radio [matemática] 2a [/ matemática], imaginamos que se ha extendido por un factor lineal de [matemática] 2 [/ matemática]. Entonces, la [matemática] r [/ matemática] ahora se convierte en [matemática] 2r [/ matemática]. Del mismo modo, si el área pequeña [math] \ mathrm {d} S [/ math] se estira por un factor lineal de [math] 2 [/ math] también, entonces la pequeña masa [math] \ sigma \ mathrm { d} S [/ math] ahora se convierte en [math] 4 \ sigma \ mathrm {d} S [/ math]. Teniendo todo esto en cuenta, tenemos el momento de inercia de [math] D_2 [/ math] como [math] I_2 [/ math] que viene dado por
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[matemáticas] \ displaystyle I_2 = \ oint_ {D_1} (2r) ^ 2 (4 \ sigma \ mathrm {d} S) = 16I [/ matemáticas]
Por lo tanto, el momento de inercia aumenta en un factor de [matemática] 16 [/ matemática] cuando duplica el radio. Para verificar esta fórmula, utilice el caso especial de distribución de masa uniforme, donde la fórmula estándar para el momento de inercia es [matemática] \ dfrac {1} {4} MR ^ 2 [/ matemática] y cuando duplica el radio, el la masa aumenta en un factor de [matemáticas] 4 [/ matemáticas].
