La palabra “derecho” es un coloquialismo: se usa en el discurso informal para referirse a varias construcciones rigurosas diferentes. Por lo tanto, tenemos que decidir exactamente qué queremos decir con “directo” para responder la pregunta.
Más comúnmente, la noción de rectitud está asociada con la intuición de líneas en espacios euclidianos. Sin embargo, aquí estamos hablando de un geoide, o aproximadamente, una esfera, que es un espacio no euclidiano. En este caso, la noción relacionada más cercana es la de geodésica. Resulta que incluso la palabra “geodésica” está un poco sobrecargada: hay varias formas diferentes de definir la geodésica, dependiendo del tipo exacto de estructura que tenga el espacio ( por ejemplo, estructura afín o estructura métrica).
Una intuición sobre las líneas rectas en la geometría euclidiana es que son los caminos más cortos que conectan dos puntos. Podemos copiar casi directamente sobre la definición a espacios métricos generales. La única modificación que debemos hacer es considerar solo las curvas cercanas al decidir si una curva tiene una longitud mínima: una geodésica es una curva cuya longitud es la más corta entre las curvas cercanas. Esto permite que haya más de una geodésica entre dos puntos (imagínese viajando entre donde se encuentra ahora y un punto a un kilómetro al norte de usted; podría viajar al norte y llegar allí en un kilómetro, o podría viajar al sur , rodear el Tierra, y regresar después de unos 40 000 kilómetros; ambos son geodésicos).
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Otra cosa que es cierta acerca de las líneas rectas en la geometría euclidiana es que la tangente a una línea es la misma en todos los puntos a lo largo de la línea. Ahora, en geometría no euclidiana, no es trivial comparar vectores ubicados en diferentes puntos. Entonces, para definir la geodésica de esta manera, necesita lo que se llama una “conexión afín”, que efectivamente le permite transportar un vector a lo largo de una curva. Una geodésica en este caso se puede definir como una curva cuyo vector tangente se puede tomar de un punto [matemático] A [/ matemático] en la curva, transportado (usando la conexión afín) a lo largo de la curva a otro punto de la curva, [ matemática] B [/ matemática], solo para descubrir que el vector transportado también es tangente a la curva en [matemática] B [/ matemática].
Afortunadamente, en los casos en que puede definir ambos tipos de geodésica (como las variedades Riemannianas), están de acuerdo entre sí, por lo que esto justifica llamarlos por el mismo nombre.
Ahora tenemos un marco para responder a la pregunta original: ¿un barco que avanza recto y rodea la Tierra sigue un camino que es recto en relación con la superficie de la Tierra? Si por “recto” queremos decir que el camino es geodésico, entonces la respuesta es sí: el barco está literalmente tomando un vector (la dirección en la que apunta), transportándolo en paralelo a lo largo de una curva tangente a este vector ( es decir, , avanzar), y luego continuar en la dirección de este rumbo transportado en paralelo ( es decir, el vector tangente transportado en paralelo permanece tangente a la curva). Dado que una esfera (o un geoide) es una variedad riemanniana, esto significa que el camino tomado por el barco también es el más corto entre todos los caminos cercanos entre cualquiera de los dos puntos que alcanza el barco.
La pregunta está relacionada con la geometría diferencial pero está etiquetada de manera confusa con “Relatividad (física)”. La única relación es que la relatividad general (GR) también hace uso de la geometría diferencial. Sin embargo, allí las variedades que se utilizan no son riemannianas sino más bien “pseudo-riemannianas” o “lorentzianas”, lo que se relaciona aproximadamente con el hecho de que en GR, la variedad es espacio- tiempo , por lo que hay una coordenada de tiempo. Esto lleva a algunas complicaciones en cómo se definen las distancias y la geodésica. Las partículas libres en GR ( es decir, actuadas solo por gravedad) tienen líneas del mundo que son geodésicas en el múltiple espacio-temporal de 4 dimensiones, pero generalmente no son geodésicas en ninguna proyección sobre superficies con forma de espacio. Por el contrario, el bote que gira alrededor de la Tierra de la manera descrita en la pregunta se mueve a lo largo de una geodésica en la superficie de la Tierra, pero su línea de palabras 4d no es una geodésica en el múltiple espacio-tiempo curvado generado por la gravitación de la Tierra.
