¿Alguien puede explicar brevemente la dilatación del tiempo usando fórmulas matemáticas?

En primer lugar, me abstendría de decir que entiendes matemáticas complejas si no entiendes cálculo, es bastante fundamental.

La dilatación del tiempo es una consecuencia de las teorías de la relatividad de Einstein y surge del hecho de que el espacio y el tiempo están intrínsecamente vinculados.

Hay dos tipos: velocidad y dilatación del tiempo gravitacional.

La dilatación del tiempo de velocidad ocurre cuando los objetos se mueven a velocidades relativas a otros objetos. “Los relojes en movimiento funcionan lentamente” es una consecuencia del movimiento y se deriva utilizando ecuaciones de relatividad especial.

La dilatación del tiempo gravitacional ocurre en diferentes potenciales gravitacionales y surge de la teoría de la relatividad general y las soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein (en realidad fue predicha en 1907 por Einstein pensando en acelerar marcos de referencias). El resultado es que “los relojes en un potencial gravitacional mayor corren más lentamente que aquellos en un potencial gravitacional menor”. Es decir, los relojes de los satélites funcionan fundamentalmente más rápido que los de la Tierra.

No creo que me ayude intentar explicar la dilatación del tiempo usando las matemáticas porque puede ser extremadamente complicado, especialmente si quieres una derivación adecuada (aunque el rel especial especial es algo más fácil que el general).

Sin embargo, si no lo sabía, el factor que relaciona los relojes que se mueven a velocidades relativas viene dado por el “factor de Lorentz”:

[matemáticas] dt = \ gamma d \ tau [/ matemáticas]

Donde [math] dt [/ math] es el tiempo de un objeto en movimiento medido por un observador y [math] d \ tau [/ math] es el “tiempo apropiado” del objeto. El factor Lorentz viene dado por:

[matemáticas] \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]

Donde [math] v [/ math] es la velocidad de un objeto en movimiento en relación con un observador y [math] c [/ math] es la velocidad de la luz.

La dilatación del tiempo gravitacional se encuentra comúnmente mediante el uso de la solución de schwarzschild para las ecuaciones de campo de Einstein (se aplica fuera de las distribuciones de masa esféricamente simétricas) y viene dada por:

[matemáticas] d \ tau = \ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2r}} dt [/ matemáticas]

Cuál [matemática] M [/ matemática] es la masa del objeto grande y [matemática] r [/ matemática] es la coordenada radial de un reloj en ese campo gravitacional.

Esto relaciona el tiempo apropiado, [math] d \ tau [/ math], experimentado por un reloj en radio [math] r [/ math] comparado con el de un reloj ficticio en radio infinito, [math] dt [/ math] .

Nota: Cuando digo ‘reloj’, realmente me refiero al flujo fundamental de tiempo en el marco de referencia del reloj.

El caso prototípico de la dilatación del tiempo es un reloj de luz en movimiento transversal. Ver dilatación del tiempo. Analizarlo es material de nivel secundario y no implica nuevos efectos relativistas. Si calcula la distancia total que debe recorrer la luz para rebotar con éxito en los espejos y hacer un viaje de ida y vuelta entre ellos, resulta ser [matemática] 2L / \ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2} [ /matemáticas]. Por lo tanto, considerado como un reloj, corre lento por [math] 1 / \ gamma (v) [/ math] donde [math] \ gamma (v) [/ math] es el factor de Lorentz.

Según el principio de relatividad, todos los demás relojes deben funcionar lentamente en la misma cantidad. Sin embargo, la razón exacta variará con el tipo de reloj y típicamente implicará nuevos efectos relativistas. Por ejemplo, y en particular, se esperaría ingenuamente que un reloj de luz que se mueve longitudinalmente se desacelere en [matemática] \ gamma ^ 2 (v) [/ matemática]. Este fue el concepto del famoso experimento de Michelson-Morley, que es una comparación de relojes ligeros en ángulo recto. Pero la contracción de longitud elimina [math] \ gamma (v) [/ math] en el brazo longitudinal, haciendo que las cosas vuelvan a ser simétricas.

Aquí está la ecuación de dilatación del tiempo relativista de acuerdo con la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein. Aquí To representa el tiempo medido en el marco de descanso, mientras que T representa el tiempo observado por un observador con velocidad de marco = v en relación con el marco de descanso. Esto significa que To es el tiempo medido por un observador que está en reposo como se ve desde el marco de referencia del evento. Y To es el tiempo medido por un observador que se mueve con una velocidad relativa v con el marco de referencia. c es la velocidad de la luz.

Como se puede ver en las ecuaciones, el valor dentro de la raíz cuadrada siempre es menor que uno. Esto significa que el denominador es siempre menor que uno dándonos T> To. Esto es exactamente lo que llamamos dilatación del tiempo relativista.

Aquí hay otro enfoque: la relatividad y el viaje FTL … es similar al enfoque habitual de los libros de texto, pero entra en más detalles con las matemáticas y también presenta diagramas espacio-temporales.

Sin embargo, depende de lo que quieras decir con “explicar”. La dilatación del tiempo es lo que obtienes cuando comparas relojes entre diferentes cuadros de inercia. Es solo una consecuencia de la invariancia de la velocidad de la luz en el vacío.

Entonces necesitas entender la relatividad galileana, ¿verdad? – luego aplique las reglas para eso a la situación donde la velocidad de la luz es importante e invariable.

La configuración estándar es así:

Alice ha instalado algunos aparatos: hay una fuente de luz en (x, y) = (0,0), un espejo en (x, y) = (0, L) y un detector de luz en (x, y) = (0,0)

En t = 0, la fuente envía un pulso de luz en la dirección + y.

Alice mide el tiempo que tarda el pulso en desmoronarse en el espejo y volver al detector … esto es T = 2L / c

Bob está observando todo esto … solo se da cuenta de que Alice lo ha instalado todo en un vagón de tren que viaja a gran velocidad más allá de él.

Desde su POV, el pulso de luz comienza (t = 0) en la posición (x ‘, y’) = (0,0), pero termina en la posición (x ‘, y’) = (d, 0) … más abajo de la línea.

Entonces, en lugar de solo subir y bajar, como informa Alice, sigue un camino triangular … que es mucho más largo que 2L. Bob mide la cantidad de tiempo T ‘que le toma al pulso pasar de (0,0) a (d, 0).

Aquí está el punto crucial : dado que c es la misma velocidad para Bob que para Alice, se deduce que T ‘no es lo mismo que T.

La relación entre los dos tiempos se llama “dilatación del tiempo”.

Debería poder utilizar su comprensión de las matemáticas complicadas (nota: no “compleja”) para derivar la fórmula de dilatación del tiempo.

Es posible que desee volver al artículo original de Einstein, “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”, parte IV, donde describe por primera vez la consecuencia peculiar de dos relojes en movimiento. [1]

Notas al pie

[1] http://hermes.ffn.ub.es/luisnava …