¿Qué tan cerca de la velocidad de la luz tendría que viajar alguien para mantener una diferencia horaria de una hora con la Tierra?

Creo que estás confundiendo la diferencia horaria con la dilatación del tiempo.

La diferencia horaria es un conjunto de reglas que hicimos en la Tierra. Cuando me levanto son las 06:30 AM en Bélgica, pero las 12:30 AM en Nueva York. No hay ninguna razón física para eso aparte de que a nosotros en la Tierra nos gusta levantarnos cuando sale el Sol. Tenemos la costumbre de dar a esta vez un número de dígitos bajo. Este número no tiene un significado físico especial: todos en la Tierra están invitados a usar el reloj belga como hora estándar. Esto generará cierta confusión, pero el universo seguirá funcionando de la misma manera.

La dilatación del tiempo tiene que ver con relojes que funcionan más lentamente, los objetos envejecen menos entre sí. Por ejemplo, si realiza un viaje a 0,5 c, entonces cada segundo que se registre será de aproximadamente 1.155 segundos en la Tierra. Cuando viajas durante una hora, luego en la Tierra habrá pasado una hora, 9 minutos y 18 segundos. Cuando viajas dos horas, luego en la Tierra han pasado dos horas, 18 minutos y 36 segundos. Etc, etc. Esto es algo completamente diferente a la diferencia horaria. Son amigos en Bélgica y el resto de la Tierra envejece más rápido que en su nave espacial.

Tendrían que viajar exactamente a la misma velocidad que la tierra.

Por supuesto, primero deberán haber logrado una diferencia de una hora. Esa diferencia horaria de 1 hora podría lograrse viajando a cualquier velocidad más rápida que la velocidad de la tierra que desee durante el tiempo necesario. Cuanto más rápido viaje, menos tiempo necesitará para viajar a esa velocidad.
Por ejemplo, simplemente acelere hasta la velocidad de la Estación Espacial Internacional, quédese allí durante unos 257,000 años y regrese a la Tierra y tendrá (y luego mantendrá) una diferencia horaria de 1 hora.

Tome un paseo en el New Horizons Plutón explorando el satélite y tráigalo de vuelta a la tierra después de unos 43,000 años y tendrá una diferencia horaria de 1 hora.

Cuanto más rápido viaje, más rápido podrá compensar esa diferencia de 1 hora.

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