¿Pueden las analogías entre dos y tres dimensiones ayudar a comprender las dimensiones superiores?

Aquí hay un ejemplo que tiene sentido en dos y tres dimensiones, pero extremadamente no intuitivo en dimensiones superiores. El problema es el siguiente

tienes cuatro círculos de radio unitario en las esquinas de un cuadrado, el problema es encontrar el radio del círculo que encajaría en el área central y tocar todos los círculos, la simple aplicación del teorema de Pitágoras revelaría que el radio del el círculo interno debe ser [math] \ sqrt {2} -1. [/ math]

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Se puede resolver un problema similar en tres dimensiones y la respuesta para el radio sería [math] \ sqrt {3} -1 [/ math] [math], [/ math] aquí es una visualización del problema

No hay nada sorprendente aquí ya que el círculo más pequeño en dos dimensiones está rodeado por [matemáticas] 2 ^ {2} = 4 [/ matemáticas] círculos de radio uno y el círculo más pequeño tiene radio [matemáticas] r = \ sqrt {2} – 1, [/ math] en tres dimensiones, la esfera verde está rodeada por [math] 2 ^ {3} = 8 [/ math] esferas de radio uno y la esfera verde tiene un radio [math] r = \ sqrt {3} -1. [/ Matemáticas]

En las dimensiones [matemática] n [/ matemática] la esfera de interés estaría rodeada por esferas [matemática] 2 ^ {n} [/ matemática] de radio uno y la esfera que toca todas las demás esferas tendrá un radio [matemática] r = \ sqrt {n} -1; [/ math] hasta ahora todo parece estar bien.

Pero, ¿tiene realmente sentido, por ejemplo, cuál sería el radio de la esfera que toca todas las otras esferas en cuatro dimensiones, claramente [matemáticas] r = 2-1 = 1, [/ matemáticas] tiene sentido que la esfera interna es tan grande como todas las esferas externas y todavía, en cierto sentido, está empacado por todas ellas. En nueve dimensiones, la esfera interna tiene un radio 2 y es más grande que todas las esferas que la rodean y la empaquetan.

Esto es extremadamente no intuitivo, no es que haya algo paradójico al respecto, es solo que estos espacios de dimensiones superiores son demasiado grandes, hay mucho espacio para las piernas que desconocemos, de ahí las posibilidades anteriores.

Hay que tener cuidado al extender las ideas al espacio dimensional superior, como vimos anteriormente, podrían ser extremadamente no intuitivas.