Depende de lo que creas que es bueno.
Las coordenadas esféricas básicamente se reducen a encontrar una solución para la ecuación:
[matemáticas] r ^ 2 = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 [/ matemáticas] (en tres dimensiones).
Ahora, en cuatro dimensiones, necesitarías paramaterizar la ecuación:
[matemáticas] r ^ 2 = y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2 + y_3 ^ 2 + y_4 ^ 2 [/ matemáticas].
Hay una manera bastante fácil de obtener la segunda ecuación una vez que tenga una solución para la primera.
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Digamos que tiene una solución para [matemática] x_1, x_2, x_3 [/ matemática] que describe un sistema esférico y obedece la ecuación para [matemática] r ^ 2 [/ matemática]. Entonces podemos multiplicar [matemáticas] x_1, x_2, x_3 [/ matemáticas] con [matemáticas] \ sin (\ alpha) [/ matemáticas] ([matemáticas] \ alfa [/ matemáticas] es el nuevo ángulo debido a la dimensión adicional) . Y llámalos [matemáticas] y_1, y_2, y_3 [/ matemáticas]. Entonces obtenemos:
[matemáticas] y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2 + y_3 ^ 2 + y_4 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemática] = \ sin ^ 2 (\ alpha) (x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2) + y_4 ^ 2 [/ matemática]
[matemáticas] = \ sen ^ 2 (\ alpha) r ^ 2 + y_4 ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces, elegir [math] y_4 = r \ cos (\ alpha) [/ math] dará
[matemáticas] = r ^ 2 (\ cos ^ 2 (\ alpha) + \ sin ^ 2 (\ alpha)) = r ^ 2 [/ matemáticas] ¡Entonces funciona!
Hacer estos pasos una y otra vez le permite encontrar la parametrización esférica para cualquier dimensión.
Entonces, lo que esencialmente hicimos fue tomar las soluciones que funcionan para una dimensión menos, multiplicar todas aquellas con [math] \ sin (\ alpha) [/ math] y luego dejar que el vector adicional sea [math] r \ cos (\ alpha )[/matemáticas]. Y como mostré, esto le brinda una parametrización que funciona en sus nuevas dimensiones.
Hay pocos ‘problemas’, también podría cambiar [math] \ cos (\ alpha)) [/ math] con [math] \ sin (\ alpha) [/ math] en todas partes y la situación aún se mantendría, simplemente significa su rango de cambios [matemática] \ alfa [/ matemática]. Este procedimiento tampoco aclara cuál debería ser ese rango. Si esta es una buena generalización o no, puedes decidir por ti mismo. Al menos me alegro de que rara vez necesites usarlo.
