Si hay 6 objetos que se mueven al 90% de la velocidad de la luz en los bordes de un hexágono desde sus vértices en el sentido de las agujas del reloj en relación con su centro, ¿cuál es la velocidad de cada objeto en relación con los otros objetos?

¡El problema sería muy fácil si las velocidades no fueran relativistas! Vale la pena revisarlo para obtener la imagen geométrica. Supongamos que las velocidades fueran 90 km / s en su lugar. Arregle un vértice, digamos, en la parte superior, como el marco de referencia (donde estamos “nosotros”). Llame a su velocidad 90 km / s, yendo en sentido horario hacia la derecha. Entonces, las velocidades relativas de los dos más cercanos son 90, las dos siguientes son 90 * sqrt (3), y la opuesta es 180. Dependiendo de cómo configure su marco de referencia, puede poner un signo menos delante de las velocidades de los demás. Eso no es importante.

Usted ve, cada vértice debe describir un círculo a nuestro alrededor, ya que el hexágono gira una vez. La distancia al más cercano es la misma que el radio desde nosotros hasta el centro del hexágono. Entonces su velocidad relativa debe ser igual a nosotros, 90. Y así sucesivamente.

Pero la relatividad lo hace más complicado. No veo una forma más fácil que usar la fórmula de suma relativista para dos vectores de velocidad dados en un cuadro fijo “K”. (Por cierto, esto no es lo mismo que la versión de Einstein en “Electrodinámica de cuerpos en movimiento”). Por supuesto, suponga que c = 1.

Si u y v son los dos vectores, la velocidad relativa w de uno del otro viene dada por

w ^ 2 = [(uv). (uv) – (u × v)] / [(1 – uv) ^ 2]

Sea nuestro vértice de referencia, su velocidad es (.9,0).

Sea v el vértice opuesto, es (-.9,0)

Conectarse a la fórmula da w = .99448

Los otros vértices tienen vectores de (+/-. 45, +/-. 45 * sqrt (3)). Con las cuatro combinaciones posibles de signos + y -, como puede ver fácilmente dibujando una imagen.

Supongo que este es un problema de tarea, así que te dejaré resolver estas respuestas. Siempre que te asegures de unirlos con los vértices correctos, terminarás entendiendo lo que está sucediendo. Si quieres que lo haga por ti, por favor comenta.

Para obtener crédito adicional, calcule las contracciones de longitud involucradas. 🙂