¿Por qué los electrones en alguna órbita de radios especiales no irradian energía?

Cuando se habla de electrones en órbitas, la primera analogía que viene a la mente son los planetas que orbitan alrededor del Sol.

Esa no es una comparación válida. Las órbitas electrónicas no pueden ser vistas como trayectorias regulares que respetan la causalidad. Son estados cuánticos, lo que significa que cada uno de ellos es en realidad un estado en el que un electrón puede encontrarse. Los electrones, al ser partículas elementales, se rigen por las funciones de onda, y por lo tanto tampoco se puede considerar que son solo partículas, sino también ondas.

En otras palabras, los electrones no se mueven exactamente alrededor del núcleo. Están untadas alrededor del núcleo, en una configuración que involucra una cierta cantidad de energía que es constante, y que solo cambia cuando el electrón se mueve a otro estado.

En ese sentido, los electrones no irradian energía porque, en esta situación específica, no son cargas en movimiento sujetas a aceleración.

La respuesta de Francisco es bastante buena, pero me gustaría aclararlo un poco más:

La razón por la que un electrón unido en un átomo no puede irradiar la energía EM como puede cuando se mueve en un acelerador de partículas (ver Radiación ciclotrónica) es que, dado que es una onda estacionaria, solo puede estar en los orbitales específicos del átomo (= estados propios , estados estacionarios) donde su longitud de onda coincide con la longitud orbital en múltiplos enteros. Esto da el primer número cuántico del orbital (que determina su energía). Como consecuencia, solo puede estar en ciertos estados de energía discretos (su espectro de energía / frecuencia) y, por lo tanto, solo puede irradiar / absorber energía en cantidades discretas (la diferencia entre dos niveles de energía) cuando salta de un nivel a otro.