¡No absolutamente no! Esta es una idea errónea de que la energía puede ser negativa.
El electrón en el átomo de hidrógeno no tiene esa energía negativa. El símbolo negativo solo indica que es un sistema acotado y necesitará suministrar energía externamente para anular el efecto del núcleo en el electrón. En el átomo de hidrógeno, esta energía es equivalente a su entalpía de ionización.
Volviendo a su pregunta, hablando de especies de electrones individuales, su único electrón en un átomo de hidrógeno que puede alcanzar dicha configuración en estado fundamental. Ahora esta energía es un número fijo porque tanto el protón (núcleo del átomo de hidrógeno) como el electrón retienen sus propiedades independientemente de su origen, es decir, cualesquiera 2 protones, incluso si están en los extremos opuestos del universo, aún tendrían las mismas propiedades.
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Si su pregunta es por qué el valor se fija en 13.6 eV. Debería obtener su respuesta de la teoría de Bohr, que en sí misma no es precisa. Obtendría respuestas precisas utilizando las ecuaciones de Einstein que darían aproximadamente la misma respuesta que las ecuaciones de Bohr.