Descargo de responsabilidad: no soy un físico experimental / de partículas, pero espero poder darle algunas implicaciones teóricas de la ecuación de Dirac (que todavía suena cierto hoy).
tl; dr: La ecuación de Dirac todavía se usa (aunque en una forma más general) como modelo para sistemas cuánticos relativistas con espín. El concepto de un operador de Dirac es extremadamente útil y la conexión que Dirac hizo entre las ecuaciones cuánticas de movimiento y las álgebras de Clifford impulsa fundamentalmente la teoría cuántica de campos.
Fundamentalmente, el operador Dirac representa una forma de definir una “raíz cuadrada” para el laplaciano. Al principio suena un poco extraño, pero uno puede pensar en esto como una generalización de la noción de una raíz cuadrada de una matriz positiva definida. Entonces, ¿por qué se necesita una raíz cuadrada de un laplaciano?
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Recuerde que en la relatividad especial, tenemos la fórmula energética [matemáticas] E ^ 2 = p ^ 2 c ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 [/ matemáticas]. Para una partícula libre sin masa, esto nos da [matemáticas] E ^ 2 = p ^ 2 c ^ 2 [/ matemáticas]. Ahora recuerde que la posición y el momento son observables cuánticos conjugados (por ejemplo, podemos pasar de una base a otra a través de una transformada de Fourier), de modo que [matemáticas] E ^ 2 = c ^ 2 \ nabla ^ 2 [/ matemáticas] o en otro palabras [matemáticas] E = c \ sqrt {\ nabla ^ 2} [/ matemáticas]. Como el hamiltoniano corresponde a la energía (por ejemplo, los valores propios del hamiltoniano son valores propios de la energía), necesitamos encontrar el espectro de [math] \ sqrt {\ nabla ^ 2} [/ math]. Dirac intentó ingeniosamente “factorizar” al Laplaciano (un operador de segundo orden) en el producto de dos operadores de primer orden. Encontró que los coeficientes de los operadores de primer orden corresponden a matrices anticommutación [matemática] 4 \ veces 4 [/ matemática] que comúnmente se denotan como [matemática] \ gamma ^ i [/ matemática]. Estas matrices satisfacen la relación:
[matemáticas] \ {\ gamma ^ i, \ gamma ^ j \} = 2 \ eta ^ {ij} [/ matemáticas] (1)
Como se puede probar [1], estas relaciones generan lo que se conoce como álgebra de Clifford . La noción de álgebra de Clifford es crucial para el estudio de cualquier partícula con espín y Dirac encontró una interpretación física para álgebras de Clifford. El conjunto de estados de giro o ( spinors ) Algebra de Clifford actúa sobre él, de la misma manera que el conjunto de operadores delimitados en un espacio de Hilbert actúa sobre el conjunto de funciones de onda (por ejemplo, [matemáticas] L ^ 2 (X, \ mu) [/ matemáticas] para algunos separables, Hausdorff [matemáticas] X [/ matemáticas]). La mayoría de las ecuaciones modernas que incorporan espín requieren el uso de la interpretación física de Dirac de un álgebra de Clifford, de una forma u otra.
Además, se puede generalizar inmediatamente el Álgebra de Dirac (por ejemplo, el álgebra generada por (1)) al espacio-tiempo curvo. Suponga que tengo una forma local para una métrica [matemática] g ^ {ij} [/ matemática] en una variedad riemanniana [matemática] M [/ matemática] que representa mi espacio-tiempo (por ejemplo, resuelve las ecuaciones de campo de Einstein). Entonces el Álgebra de Dirac asociado a [matemáticas] (M, g) [/ matemáticas] es:
[matemáticas] \ {\ gamma ^ i, \ gamma ^ j \} = 2g ^ {ij} [/ matemáticas]
Esto nos permite hablar sobre los hiladores en el espacio-tiempo curvo. Esta es un área activa de investigación en astrofísica (tenga en cuenta que esta investigación es diferente a la gravedad cuántica).
Prácticamente todas las acciones que se usan en las teorías de campo cuántico que contienen ecuaciones de rendimiento de giro de operadores de movimiento / diferenciales de la forma [matemáticas] K_1 (x, y, z, t) D_ {A} + K_2 (x, y, z, t ) \ nabla ^ 2 + V – [/ math] Otros (a menudo débilmente acoplados) Términos de primer orden, donde [math] D_ {A} [/ math] es un operador de Dirac, [math] \ nabla ^ 2 [/ math] es un laplaciano y [matemática] V (x, y, z, t) [/ matemática] es un potencial. Si bien estas ecuaciones a menudo son mucho más elegantes que la ecuación de Dirac (por ejemplo, hay una invariancia de calibre adicional, bispinors, etc.), todavía usan un operador de tipo Dirac [2] para encapsular gran parte del comportamiento relacionado con el giro.
Además, en la teoría de cuerdas y las teorías de campo cuántico supersimétrico, las álgebras de Clifford son muy naturales ya que cualquier álgebra de supersimetría siempre contendrá un subalgebra que es isomorfo a un álgebra de Clifford [3].
[1] Para más detalles matemáticos, ver Operadores Dirac en Geometría Riemanniana (Capítulos 1, 2), por Thomas Friedrich
[2] Ver Friedrich, página 68-69 para una definición formal
[3] Recuerde que un álgebra de supersimetría [matemática] \ mathcal {S} [/ math] es un ‘súper álgebra de mentiras’ (por ejemplo, “se ve” como un álgebra de mentiras, pero porque es [math] \ mathbb {Z} _2 [/ math] -graded y tiene un paréntesis graduado, no es un álgebra de mentiras). Como tal si [math] \ mathcal {S} = \ mathcal {S} _0 \ oplus \ mathcal {S} _1 [/ math], donde los subíndices corresponden a la calificación, entonces [math] \ mathcal {S} _1 [/ math] es naturalmente un Álgebra de Clifford ya que el anticommutador de cualquiera de los dos elementos de [math] \ mathcal {S} _1 [/ math] desaparece.
