Eso es esencialmente solo para aprovechar las convenciones que rodean la notación de suma de Einstein.
Cuando usa la notación de suma Einstein, solo suma los índices repetidos en cada término.
Ahora, ¿ves que δ allí? Eso está ahí para asegurarse de que cuando multiplique las diversas q entre sí, solo obtenga productos de la forma q_i * q_i (es decir, una coordenada multiplicada por sí misma), dejándolo con el conocido Lagrangiano para armónicos simples osciladores (L = 1/2 x_dot ^ 2 – x ^ 2), extendidos a más grados de libertad.
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Ahora, podrían haber escrito todo con una suma,
[matemática] L = \ sum [i = 1] [n] [\ frac [1] [2] \ dot [x] ^ 2 – x ^ 2] [/ matemática]
pero ellos no quisieron.
Incluso podrían haber escrito todo de manera muy explícita, mostrando algunos términos de ejemplo y luego añadiendo un conjunto de elipses,
[matemáticas] L = \ frac [1] [2] \ dot [x ^ 1] ^ 2 – x ^ 1 ^ 2 +… + \ frac [[/ matemáticas]
pero aparentemente tampoco querían hacer eso.
En cambio, lo tienes en notación de suma Einstein.
