¿Qué es una explicación intuitiva para funciones potenciales?

A2A: No creo que tengamos uno completo, sin embargo, el concepto es probablemente más avanzado en matemáticas que en física. Sería bueno si la pregunta llegara con algún contexto adicional.

El potencial es simple e intuitivo en el sentido de que “potencial” es una propiedad capaz de causar “cambio”.

Pero queda algo de pensamiento filosófico profundo necesario con lo que entendemos por “potencial”, especialmente en el contexto de la física. Exploraré algunos acertijos / malentendidos comunes a continuación para ilustrar.

Richard Feynman tenía mucho que decir sobre esto, particularmente sobre todas las formas en que la energía “potencial” puede esconderse. Recomiendo el libro “Energía: el concepto sutil” de Jennifer Coopersmith, que tiene un preámbulo sobre los bloques de Feynman.

En matemáticas, es un poco más fácil. Básicamente es el estudio de los campos conservados. Y el potencial es una propiedad de un campo. Una función potencial de algunas variables (un espacio de coordenadas) es capaz de alterar sistemáticamente la posición de alguna otra ecuación diferencial que representa un objeto en ese espacio de coordenadas. El cambio generalmente se rastrea mediante la introducción de una variable paramétrica como el tiempo. El elemento clave de tal cambio parece ser las leyes de conservación. Pero solo soy un matemático aplicado, así que no tengo idea más allá de esto en matemáticas puras más allá de los análogos de la física.

Entonces, simple e intuitivo en el sentido de que “potencial” es una propiedad capaz de causar “cambio”.

Ahora a los acertijos en física. La mayoría de las dificultades parecen surgir de la necesidad de unidades de categoría. La física aún no se presenta en una forma dimensional completamente libre de unidades. El uso de unidades naturales: Wikipedia no se ha extendido hasta su conclusión natural de no tener ninguna unidad (¡porque todavía no sabemos cómo!)

En matemáticas podemos tratar los números como adimensionales en el sentido de no tener unidades. Uno significa uno. En física, puedes tener una manzana y un kilogramo y un metro por segundo, y solo tienes suerte si todas tus manzanas son exactamente un kilogramo en masa en reposo. Este no parece ser el caso en física, incluso a nivel subatómico.

Creo que en física, principalmente, intuitivamente “obtenemos” energía cinética. Algo que se mueve (cambia de forma o ubicación) tiene energía de movimiento, y cuanto más rápido sea el cambio, mayor será la energía. Y cuanto más tenemos (es decir, masa en reposo), más energía tenemos.

Pero, ¿qué es potencial? ¿Dónde está almacenado (espacio vacío) y qué puede liberarlo o no? Para interactuar con objetos en movimiento.

El problema es que no podemos descubrir cómo dividir un objeto en una unidad de masa en reposo (o incluso si es posible), para obtener una unidad de energía que sea independiente de la masa. Hasta que comprendamos eso, no podemos determinar qué caracteriza la energía potencial, a partir de la energía del movimiento, aunque ambos usen las mismas unidades de medida.

Y con demasiada frecuencia olvidamos que sin un marco de referencia u objeto de referencia, ni siquiera podemos definir la velocidad ni la energía. Y un marco de referencia no tiene energía ni masa, ¡pero aún es necesario!

Ahora, en cierto sentido, el potencial es fácil: es un potencial para hacer que las cosas se muevan a tiempo. Por lo tanto, un campo gravitacional (o un sistema de coordenadas doblado) tiene el potencial de cambiar el movimiento de un objeto en relación con él.

Se pensó en la época de Newton, todo lo que necesitabas era masa para crear potencial. Einstein amplió esta visión para incluir “cualquier cosa que pueda curvar el espacio” como fuente de potencial. Entonces, un fotón puede curvarse alrededor de un objeto (¡como lo hace!), Algo imposible en la física newtoniana.

Entonces, una visión es potencial es cualquier energía implícita en el objeto (y, por lo tanto, oculta a nuestros ojos en un examen superficial del mismo) capaz bajo las circunstancias correctas de causar un cambio en la energía de movimiento de algún otro objeto.

Y ahora se da cuenta de que incluso la energía cinética depende de la masa, y la masa en reposo TAMBIÉN se ve como energía “potencial”. Por lo tanto, es una lógica muy extraña y pobre multiplicar un potencial de energía (masa en reposo) por una velocidad (al cuadrado) (y luego por un factor de 1/2) para obtener una energía cinética matemáticamente definida.

En este caso, debe tratar la masa en reposo no como un potencial, sino como una “cantidad” del objeto que experimenta el cambio. Así como un objeto que va más rápido tiene más energía, también lo hace un objeto “más grande”. En este caso, más grande, lo que significa uno con más masa en reposo.

Por lo tanto, mi opinión es que la física necesita más filosofía para comprender las distinciones de lo que realmente significa masa en qué contexto.

La teoría de campo cuántico no ayuda mucho: simplemente terminas con un montón de campos potenciales (por ejemplo, un electrón), a cada uno se le asigna una masa de reposo única (¡la masa del electrón!) Sin indicación teórica de por qué ese número y no otro . ¡Es el número necesario para que todo funcione!

Quizás podamos tener sentido con la ecuación completa de Einstein para la energía:

Equivalencia masa-energía – Wikipedia

Donde vemos:

[matemáticas] {E_r} ^ 2 = {m_0} ^ 2 c ^ 4 + {| \ overrightarrow {p} |} ^ 2 c ^ 2 [/ matemáticas]

Aquí, vemos energía en dos formas: masa en reposo e impulso. Y la mecánica cuántica nos dice que podemos tener un impulso sin masa en reposo, por lo que tal vez el “impulso” se trata de energía cinética, y la “masa en reposo” se trata de energía “potencial”.

Hasta que nos demos cuenta de que el momento todavía tiene las unidades de kilogramo en su medida, y el momento de un objeto puede depender de la masa en reposo o no, dependiendo de lo que sea. Un fotón tiene energía e impulso, pero no tiene masa en reposo, ¡aunque el impulso se define con unidades de kilogramos!

En este punto, comenzamos a darnos cuenta de que la unidad “kilogramo” es mucho más complicada de lo que podríamos darnos cuenta. Incluso la ecuación de Einstein no está realmente mucho más cerca de separar lo que entendemos por energía “potencial” de “cinética”, al menos cuando se trata de energía.

Lo que nos lleva a un círculo completo a la filosofía.

En la teoría del campo cuántico, un campo cuántico puede tener potencial (al menos cuando se trata de electromagnetismo, fuerza débil o fuerte), y ese potencial es una propiedad de ese campo, y se puede encontrar integrando la cantidad del campo sobre un región del espacio: ese espacio puede incluso ser un sistema de coordenadas doblado por las leyes de la relatividad general.

Pero la gravedad es un poco diferente. Según Einstein, el potencial es una integral sobre una región de la cantidad de flexión del sistema de coordenadas, y esa flexión depende de un campo de energía en ese sistema de coordenadas.

Lo que hace que todos estos campos existan en primer lugar solo se junta cuando miramos un objeto real o partículas subatómicas como un electrón: es un grupo de campos cuánticos que también tiene un campo de energía de masa asociado con él, pero no derivado de ello. No podemos deducir la masa en reposo de los campos cuánticos, ni los campos cuánticos de la masa en reposo.

Es por eso que estamos buscando una teoría más unificada de la física. Y hasta que tengamos eso, la cuestión del potencial y la cinética, al menos en física, seguirá plagada de resultados y explicaciones no intuitivas.

En lugar de rastrear cada dólar que ganó y ganó individualmente:

Usted compró un pop de la estación de servicio:

[matemáticas] \ tamaño normal \ color {rojo} {- \ $ 1.42} [/ matemáticas]

Pones gasolina en tu auto:

\ cdots

[matemáticas] \ tamaño normal \ color {rojo} {- \ $ 42.42} [/ matemáticas]

Encontraste un centavo en el suelo:

[matemáticas] \ tamaño normal \ color {verde} {\ $ 0.05} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cdots [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cdots [/ matemáticas]

Pagaste una factura:

[matemáticas] \ tamaño normal \ color {rojo} {- \ $ 89.90} [/ matemáticas]

Recibiste un cheque por algo que no recuerdas:

[matemáticas] \ tamaño normal \ color {verde} {+ \ $ 25.00} [/ matemáticas]

\ cdots

Te pagaron en el trabajo:

[matemáticas] \ tamaño normal \ color {verde} {+ \ $ 1432.96} [/ matemáticas]

Puede verificar su cuenta bancaria al final y al principio del mes:

[matemáticas] Inicio: \ tamaño normal \ color {azul} {\ $ 10,321} [/ matemáticas]

[matemáticas] Fin: \ tamaño normal \ color {azul} {\ $ 12,593} [/ matemáticas]

En la dinámica de fluidos, estas funciones son conservadoras, describen sistemas que no pierden energía.

Si tomas la gravedad, es una fuerza atractiva. Entonces, hay un campo de gravedad que describe en qué dirección y qué tan fuerte se mueve un cuerpo si es libre de moverse. Bloquee el cuerpo, coloque algún obstáculo a su alrededor. No se mueve, pero la gravedad todavía lo está afectando.

La medida de esta acción potencial es la función potencial. Está relacionado con la energía que tiene el cuerpo con respecto a su movimiento posible pero no realizado. Si retira el cuerpo en ese punto donde estaba, la gravedad afectará a cualquier cuerpo que se coloque allí. Por lo tanto, es una medida de energía contenida en ese punto, incluso cuando no hay cuerpo presente. Si coloca un cuerpo más grande, lo afectará más, el potencial está diciendo sobre el coeficiente de proporción.

En lugar de la gravedad, puede usar el campo que desee, llegando al nivel de abstracción de un campo matemático. La función potencial es solo una descripción matemática de lo anterior.