¿Cuál es una explicación intuitiva de cómo surge el electromagnetismo como curvatura de un determinado haz de fibras?

Así que sí, vamos a correr con esto. Una función de onda es una sección de un conjunto de líneas complejas. Ese es un punto de una copia de la línea compleja [math] \ mathbb {C} [/ math] en cada punto en el espacio-tiempo. Tenemos que crear una forma de hacer una transición suave de la función de onda de un punto a otro (transporte paralelo), sin embargo, el espacio base sobre el que pegamos estas fibras para este caso será [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] así que no tenemos que preocuparnos por las obstrucciones topológicas, por lo que solo un gráfico servirá y no tenemos que preocuparnos por las funciones de transición y el transporte paralelo trivializado Ahora, como usted dice, podemos multiplicar la función de onda por una fase compleja arbitraria que no cambia nada. En cierto sentido, lo que hemos hecho es poner otra fibra sobre [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math], [math] S ^ 1 [/ math], el círculo. Y en el caso trivial, dejamos que cada círculo tome el mismo valor [math] \ theta [/ math], digamos. Esto se llama una invariancia de calibre global. Globalmente rotamos la función de onda por [math] \ theta [/ math]. Ahora, en lugar de tomar el valor del círculo como el mismo en todas partes (es decir, en lugar de multiplicar cada función de onda por el mismo número complejo), dejamos que el valor del círculo (ángulo) cambie según la posición del espacio-tiempo, [matemática] \ theta (x ^ {\ mu}) [/ matemáticas]. Esto se llama una invariancia de calibre local. Al hacer la transformación local (multiplicación por [matemáticas] e ^ {i \ theta (x ^ {\ mu})} [/ matemáticas] nuestra teoría cambiará, a diferencia de hacer el caso global que no cambia nada. El nombre del juego ahora será obtener una teoría que es invariable bajo las transformaciones locales. Por ejemplo, ahora cuando movemos una función de onda de [math] p \ rightarrow p ‘\ quad p, p’ \ in \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] debemos hacer algo diferente ya que el valor de la fase compleja en p es diferente que en p ‘. No podemos comparar significativamente la función de onda en p y p’ porque sus fases respectivas no están en línea. es esencialmente la idea del transporte en paralelo. ASÍ, la invariancia de calibre local conduce al transporte no trivial de una sección del paquete, lo que significa que este paquete tiene una curvatura no trivial, ya que resulta la curvatura no trivial (forma 2) del cuando se tira hacia atrás a la base se encuentra el tensor de fuerza del campo electromagnético. Por lo tanto, el ingrediente clave es promover la simetría global a la simetría local. A medida que avanzo, el idioma comienza a cambiar, solo busca las palabras desconocidas. Esperemos que esto ayude un poco.