El análisis dimensional es una de las técnicas más útiles en toda la ciencia. Si lo dominas, nunca te perderás en problemas complicados con muchas dimensiones.
La idea básica es tratar las unidades de longitud, tiempo, masa, etc. como si fueran variables algebraicas que se sabe que no son cero (para que pueda dividirlas). Para cualquier unidad U, tenemos que U / U = 1 (puede cancelar las unidades que aparecen en la parte superior e inferior, un par a la vez). Luego, resolver un problema es simplemente alinear las cosas que sabes para que las unidades se cancelen y te dejen con lo que quieres.
Ejemplo: una bañera tiene 54 galones. El grifo está goteando 1 gota cada 5 segundos. Una gota es aproximadamente una décima de mililitro. ¿Cuánto tiempo tarda la bañera en llenarse?
- ¿Con qué frecuencia los físicos teóricos hacen laboratorios?
- ¿Cuál es el significado de los campos auxiliares (términos F y D) en la supersimetría?
- ¿Cuáles son las mejores universidades europeas no británicas para estudios de posgrado en física teórica?
- ¿Qué requeriría un experimento para probar la existencia de dimensiones extra como lo afirma la teoría de cuerdas?
- Si tomaste una barra sólida y uniste un cohete sin masa en un extremo para que quede perpendicular a la barra, ¿cómo se moverá exactamente la barra?
Para obtener la respuesta, simplemente alineamos todos los hechos:
[matemáticas] 54 \ galón \ \ veces \ 3.78541178 \ \ frac {litro} {galón} \ \ veces \ 1000 \ \ frac {ml} {litro} \ \ veces \ 10 \ \ frac {drop} {ml} \ \ veces \ 5 \ \ frac {segundo} {soltar} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ 10218181.806 \ segundos \ = \ 118.266 \ días [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que tuvimos que buscar cuántos litros hay en un galón, y que tuvimos que poner [matemática] 0.1 \ \ frac {ml} {drop} [/ math] boca abajo en [matemática] 10 \ \ frac {drop } {ml} [/ math] para que todo se cancele correctamente. Pero los galones se cancelan, los litros se cancelan, el ml se cancela, las gotas se cancelan y nos quedan solo unos segundos. Es así de simple.
A veces puedes decir que una respuesta o una fórmula es incorrecta simplemente porque las dimensiones no tienen sentido. Por ejemplo, una aceleración tiene dimensiones como metros por segundo por segundo, o [matemática] \ frac {L} {T ^ 2} [/ matemática] donde L = longitud y T = tiempo. Si está tratando de resolver una aceleración, y obtiene una respuesta que tiene dimensiones [matemática] \ frac {L} {T} [/ matemática] (una velocidad), entonces puede estar seguro de que se equivocó en algún lugar independientemente de con qué número terminaste En el Análisis Dimensional avanzado, a veces puede inferir o adivinar ecuaciones completas basadas únicamente en lo que haría que las dimensiones funcionen correctamente.
Otro dato útil es que no puede tomar el logaritmo de una cantidad dimensionada; Tiene que ser adimensional. La razón es que el registro de un producto es la suma de los registros, por lo que, por ejemplo, [math] \ log (10 \ pies) [/ math] tendría que ser [math] \ log (10) \ + \ \ log (pie) [/ matemáticas]. ¡Pero [math] \ log (foot) [/ math] no tiene sentido! Entonces, si ve que alguien toma el registro de una cantidad dimensionada, SABE que es un error sin tener que analizar más. (Por ejemplo, el defensor del diseño inteligente William Dembski hace esto en la derivación de su medida de “Complejidad especificada”, por lo que fue inmediatamente obvio para mí que había cometido un grave error en ese paso).
Intentar hacer ciencia sin una comprensión sólida del Análisis Dimensional es como tratar de hacer carpintería sin un martillo; Es una herramienta básica que utiliza todos los días .