Según la teoría de la relatividad general (GR) de Einstein, el tiempo se dilata para un observador en un campo gravitacional más fuerte, en relación con otro observador en un campo gravitacional más débil. En otras palabras, si los dos observadores miden el tiempo transcurrido entre los mismos dos eventos, el que está en el campo gravitacional más fuerte registrará un número menor de segundos. O, si lo prefiere, alguien en un campo gravitacional más fuerte envejece más lentamente.
Esto fue corroborado experimentalmente por Robert Pound y Glen Rebka en 1959. Pound y Rebka descubrieron que la luz emitida en el sótano del Laboratorio Jefferson de Harvard (donde el campo gravitacional era ligeramente más fuerte) se había desplazado al rojo cuando llegó a un detector en el cuarto piso (donde el campo gravitacional era ligeramente más débil).
En otras palabras, la misma luz tiene una frecuencia más alta en un campo gravitacional más fuerte y una frecuencia más baja en un campo gravitacional más débil. La frecuencia es el número de oscilaciones del campo electromagnético por unidad de tiempo. Puede imaginar un observador en el sótano y otro en el cuarto piso calculando la frecuencia contando el número de ciclos del campo electromagnético en un período determinado. Dado que el reloj del observador en el sótano corre lento en relación con el reloj del observador en el 4to piso, el observador en el 4to piso cuenta menos ciclos y, por lo tanto, mide una frecuencia más baja (desplazada al rojo).
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Volviendo a su pregunta, la fuerza gravitacional en el centro del Sol es nula. Newton demostró en el siglo XVII que si estás en el centro de una esfera de densidad uniforme, entonces los tirones gravitacionales de los diversos elementos de masa alrededor se cancelan. Esta conclusión también es válida en GR, ya que sabemos que la teoría de Newton es correcta en el límite en el que el campo gravitacional es débil.
Sin embargo, para calcular la dilatación del tiempo relativista, no debemos comparar las fuerzas gravitacionales, sino los potenciales en los dos puntos relevantes. Afortunadamente, mientras los potenciales sean débiles (como lo son, en unidades relativistas, incluso para el caso del Sol), podemos calcular los potenciales en el marco newtoniano.
La fuerza es menos el gradiente del potencial (que en este caso es solo la derivada del potencial en función de la distancia radial [matemática] r [/ matemática] al centro del Sol). Es un ejercicio sencillo demostrar que, si tomamos el potencial gravitacional muy lejos del Sol como cero, la energía potencial por unidad de masa en el centro del Sol es
[matemáticas] \ phi = – \ frac {3 G M_ \ odot} {2R_ \ odot} [/ matemáticas]
donde [matemática] G [/ matemática] es la constante gravitacional universal de Newton, [matemática] M_ \ odot [/ matemática] es la masa del Sol, y [matemática] R_ \ odot [/ matemática] es el radio del Sol.
En unidades relativistas, esto resulta en [matemáticas] -3.2 \ veces 10 ^ {- 6} [/ matemáticas], lo que nos da el factor de dilatación del tiempo en el centro del Sol en comparación con un punto alejado de él. Dado que el potencial gravitacional en la superficie de la Tierra es pequeño en comparación con esto, podemos descuidarlo y concluir que un reloj en el centro del Sol corre más lentamente que uno en la superficie de la Tierra en aproximadamente 3 partes en un millón.
Si desea obtener más detalles sobre este cálculo, le recomiendo leer Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology (John Wiley & Sons, 1972), cap. 3, sec. 5, donde compara las tasas de relojes en las superficies respectivas del Sol y la Tierra. Todo lo que agregué fue calcular cuánto más bajo sería el potencial gravitacional en el centro del Sol en comparación con la superficie.
Cuando intenté responder esta pregunta aquí en Quora hace unos días, estaba confundido por el hecho de que generalmente se encuentra el factor de dilatación del tiempo gravitacional expresado como
[matemáticas] \ sqrt {1 – \ frac {2gR} {c ^ 2}} [/ matemáticas],
donde [math] R [/ math] está a una distancia radial del centro de una distribución de masa esférica (como la del Sol o la Tierra), [math] c [/ math] es la velocidad de la luz en el vacío, y [matemáticas] g [/ matemáticas] es la aceleración gravitacional en el punto de interés (es decir, la fuerza gravitacional por unidad de masa).
Como no hay aceleración gravitacional ([matemática] g = 0 [/ matemática]) en los centros del Sol o de la Tierra, originalmente pensé que no habría factor de dilatación del tiempo entre ellos. Como ya he explicado, esto está mal, porque lo relevante es la diferencia de los potenciales gravitacionales. La fórmula en términos de [matemáticas] g [/ matemáticas] solo es válida si está comparando las tasas de relojes a dos alturas diferentes con respecto al centro de la Tierra, como lo hicieron Pound y Rebka en su experimento.
Finalmente, hay un punto menor que también debo mencionar. En principio, debemos tener en cuenta el hecho de que la Tierra se mueve alrededor del sol con una velocidad de aproximadamente [matemáticas] v = 30 ~ \ hbox {km / s} [/ matemáticas]. Por lo tanto, entre un observador en el centro del Sol y uno en el centro de la Tierra hay otro factor de dilatación del tiempo de:
[matemáticas] \ sqrt {1 – \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} = 1 – 5 \ por 10 ^ {- 9} [/ matemáticas],
o cinco partes por mil millones. Este es solo el factor de dilatación de tiempo habitual de la relatividad especial . Se aplica entre dos observadores inerciales (en este caso, en el centro del Sol y el centro de la Tierra) que se mueven uno con respecto al otro.
Aquí no es necesario tener en cuenta el potencial gravitacional en el centro de la Tierra causado por el campo gravitacional del Sol, porque la Tierra está en caída libre con respecto al Sol. Por el principio de equivalencia en GR, esto significa que un observador en el centro de la Tierra es inercial. (Esto no era cierto para el observador en la superficie de la Tierra, que no está en caída libre con respecto al centro de la Tierra, porque la solidez del suelo le impide caer).
Este factor parece ralentizar un reloj en la Tierra en comparación con uno en el Sol (o uno en el Sol en comparación con uno en la Tierra). Pero cinco partes por mil millones son pequeñas en comparación con el efecto gravitacional que calculamos anteriormente de tres partes por millón , por lo que no afecta sustancialmente nuestras conclusiones.
g es 9.8 