Esta es una pregunta interesante que en la superficie puede parecer fácil de responder, pero en realidad tiene cierta profundidad.
Antes de intentar responder a la pregunta, debemos tener claro algunas cosas:
Primero, debemos tener claro que las matemáticas en física funcionan como un lenguaje destinado a expresar de manera precisa y rigurosa las relaciones entre cantidades físicas.
- ¿Se dobla la luz?
- ¿Qué pasaría si cada persona en el mundo apuntara con un puntero láser a la Luna?
- ¿Es una 'capa masiva' algo hipotéticamente posible?
- ¿Cuáles son los problemas con la tensión de la polea?
- ¿Cómo se presenta el efecto de la fuerza sobre la fricción?
En segundo lugar, debemos tener claro lo que queremos decir con “concepto matemático”. Diferentes personas podrían interpretar esta frase de manera diferente, supongo que se refiere a cualquier sistema matemático o disciplina que ocupa un lugar distinto en la superestructura de las matemáticas. Según esta comprensión, “cálculo” y, por ejemplo, “aritmética” son distintos “conceptos matemáticos”. Tenga en cuenta que simplemente estoy ajustando las palabras a su pregunta, habría formulado la pregunta original de forma un poco diferente, a saber, “¿se puede redefinir la física utilizando un nuevo sistema matemático que funciona mejor que los actuales”
En tercer lugar, debemos tener claro lo que queremos decir con “redefinir la física”. Nuevamente, es posible interpretar esta frase de diferentes maneras.
Una forma es usar esta frase para referirse al hecho de que cualquier relación dada entre cantidades físicas puede conceptualizarse en una multitud de formas completamente equivalentes, de modo que cada concepción requiera sus propios conceptos matemáticos para una expresión adecuada.
Un gran ejemplo de esto es el estado cuántico, el estado de un sistema físico que obedece las leyes de la mecánica cuántica. En términos de conceptos matemáticos que expresan ciertos tipos de conceptualizaciones del estado cuántico (es decir, cómo lo pensamos), un estado cuántico puede considerarse como un rayo en un espacio vectorial abstracto, una onda en un espacio de configuración, un punto en un espacio de fase, o una amplitud de probabilidad en el espacio real. Cada uno de estos utiliza un concepto matemático diferente, pero eso está completamente impulsado por cómo las matemáticas necesitan expresar de manera precisa cómo pensamos sobre el estado cuántico dentro de ese contexto particular, y todas estas conceptualizaciones son completamente equivalentes.
Otra forma es usar la frase para referirse a algún desarrollo, por ejemplo, un nuevo descubrimiento teórico, que expande o modifica el inventario conceptual de la física.
Un gran ejemplo de esto es la relatividad especial. Antes de su descubrimiento, solo había un concepto de tiempo, lo que podría llamarse “tiempo absoluto”. Sin embargo, luego, se descubrió que el tiempo no es absoluto, y dos concepciones distintas del tiempo, el tiempo apropiado y el tiempo coordinado , tomaron su lugar.
De manera análoga, podríamos imaginar que los futuros descubrimientos teóricos y experimentales en física nos obligan a expandir o modificar algunos de los conceptos que damos por sentado hoy. Una vez que eso sucede, la física ha sido “redefinida”.
Cuarto, debemos tener claro lo que queremos decir con “funciona mejor”. Hay al menos algunos significados muy distintos que esta frase podría tener.
Por ejemplo, si un método matemático le permite resolver un problema en, digamos, tres pasos que por otro método requiere veinte, entonces seguramente esa es una forma válida de considerar que el primer método “funciona mejor” que el segundo. Hasta cierto punto, esto es una consideración, pero creo que la ubicuidad de las computadoras y el software especializado mitiga su importancia.
Otra forma de considerar un método matemático, o mejor aún, un sistema, para “trabajar mejor” que otro es cuando su poder expresivo es mayor que el del otro. Por ejemplo, los antiguos griegos hicieron avances bastante significativos en matemáticas, incluso estuvieron a punto de descubrir el cálculo usando lo que se llama el Método del agotamiento, pero lamentablemente carecían de la maquinaria completa que les permitiría resolver problemas que podemos resolver hoy en día. fácilmente haciendo un uso más extenso del cálculo.
Ahora, creo que un mayor poder expresivo es el significado de “funciona mejor” que es más relevante aquí. Pero un mayor poder expresivo en sí mismo, es decir, sin ninguna aplicación que lo utilice, es superfluo, inútil y potencialmente confuso.
Para dar un ejemplo, se puede pensar que el sistema de números complejos tiene mayor poder expresivo que el sistema de números reales. Pero si queremos expresar simplemente la suma de cantidades reales, no tiene ningún beneficio adicional expresar esas cantidades en términos de las cantidades complejas correspondientes. Si quiero agregar una manzana a otra, expresar cada manzana en términos de un par ordenado, o como la suma de una manzana real y cero manzanas imaginarias puede, desde una perspectiva conceptual, parecer francamente extraño.
El punto es que el poder expresivo agregado debe coincidir con las demandas conceptuales de las relaciones físicas que deben expresarse en el lenguaje de las matemáticas, de lo contrario se desperdicia.
Resulta que hay muchos subcampos de física en los que las relaciones físicas son más convenientes (como en la electrodinámica clásica) o inevitablemente (como en la mecánica cuántica) expresable utilizando el mayor poder expresivo de los números complejos.
Con todas estas consideraciones resueltas, podemos intentar encontrar la respuesta a su pregunta. Necesitamos considerar si hay sistemas que tienen mayor poder expresivo que el cálculo que podrían, al menos en principio, ser utilizados para “redefinir la física” en cada uno de los dos sentidos mencionados anteriormente.
Dos ramas de las matemáticas que vienen a mi mente que tienen un mayor poder expresivo que el cálculo, pero de diferentes maneras, son la geometría diferencial y el análisis no estándar. La Geometría diferencial, que el físico independiente Garrett Lisi llamó acertadamente “Cálculo con esteroides”, extiende los métodos de cálculo a la geometría, mientras que se desarrolló un análisis no estándar para colocar el cálculo sobre una base más firme y utiliza un superconjunto de números reales llamados los hiperrealistas.
El uso de cualquiera de estos sistemas para resolver un simple problema de física de primer año sería una exageración total, en el sentido de que desperdicia el poder expresivo adicional que proporcionan: tendrían que “reducirse” a un sistema que corresponda al cálculo ordinario y luego aplicarse a El problema en cuestión. Esto es bastante similar a tener que expresar un número complejo como un par ordenado con el segundo valor igual a cero, o la suma de un número real y cero multiplicado por la unidad imaginaria para “reducirlo” al número real correspondiente.
Por lo tanto, resulta que si está usando “redefinir la física” en el primer sentido anterior, la respuesta es no : usar geometría diferencial o análisis no estándar para resolver un problema de física de primer año, o cualquier otro que realmente no use el mayor El poder expresivo de estos sistemas no funciona mejor que el cálculo.
Sin embargo, resulta que la geometría diferencial ha encontrado aplicaciones ampliamente utilizadas en la relatividad general, la teoría de campo cuántico y la gravedad cuántica, mientras que el análisis no estándar, según mi conocimiento, no ha encontrado un uso generalizado en ninguna aplicación de física (a pesar de algunas investigaciones aisladas) .
Dado que lo que impulsa la necesidad de un mayor poder expresivo del lenguaje de las matemáticas son las relaciones entre las cantidades físicas que el lenguaje necesita capturar, esto indica, por ejemplo, que todavía no hemos encontrado ninguna relación que exija el uso de números hiperrealistas para las matemáticas. representación. Pero esto no significa necesariamente que en el futuro, tras el descubrimiento de alguna nueva física, no necesitemos usarlos para representar ciertas relaciones entre cantidades físicas.
Mi propia opinión, que surge de mi propia investigación, es en realidad más radical que eso: creo que un cambio mucho más profundo en las matemáticas que emana de un cambio en los fundamentos de las matemáticas, es decir, la lógica, eventualmente nos permitirá capturar ciertas distinciones actualmente inexpresable en el lenguaje de las matemáticas, que luego puede usarse para “redefinir la física” en el segundo sentido anterior, tal como se aplica a la teoría cuántica y, quizás de una manera más limitada, a la relatividad. Hago hincapié en que esto refleja solo mi propio punto de vista.
Entonces, si está utilizando “redefinir la física” en el segundo sentido anterior, entonces la respuesta es posiblemente sí : si los nuevos descubrimientos teóricos o experimentales impulsan el uso de números hiperrealistas o distinciones novedosas en matemáticas, entonces el uso de estos sistemas matemáticos realmente funciona mejor que el cálculo porque en ese caso este último se vuelve simplemente inadecuado para la tarea en cuestión.
