Si el espacio-tiempo se define como s = Ct, ¿es matemáticamente posible que algo tenga una velocidad distinta de C?

El espacio-tiempo no se define como [math] s = ct [/ math].

La expresión [math] ct [/ math] es simplemente un factor de conversión. Por razones históricas, los humanos han estado utilizando diferentes unidades para medir el tiempo y medir la distancia. Por lo tanto, se necesita un factor de conversión. Los cosmólogos y los físicos gravitacionales, por otro lado, generalmente usan unidades “naturales”, en las cuales el espacio y el tiempo se miden usando unidades compatibles (por ejemplo, segundos para el tiempo, segundos luz para la distancia), por lo que no hay c . La velocidad de la luz, en estas unidades naturales, es solo 1.

En cualquier caso, el espacio-tiempo se define como una variedad Lorentziana suave de cuatro dimensiones. Estas palabras tienen un significado específico. Una variedad es un conjunto de puntos que puede cubrirse mediante gráficos de coordenadas. Los gráficos de coordenadas son básicamente múltiplos de números, cada uno de los cuales identifica un punto. (Por ejemplo, la superficie de la Tierra es una variedad. Puede cubrirse con tablas de coordenadas bidimensionales, es decir, tablas que usan latitud y longitud u otras coordenadas convenientemente elegidas). Suave significa que la variedad no tiene bordes ni agujeros afilados ( básicamente, que es posible definir el concepto de una derivada en todas partes.) Y Lorentzian significa que las “distancias” en este espacio-tiempo se calculan utilizando una versión retorcida de la regla pitagórica, con algunos cuadrados que aparecen con un signo negativo, a saber [matemáticas] ds ^ 2 = dt ^ 2-dx ^ 2-dy ^ 2-dz ^ 2 [/ math]. (O, si preferimos no usar unidades “naturales”, [matemáticas] ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2-dx ^ 2-dy ^ 2-dz ^ 2 [/ matemáticas]. O, como una abreviatura, [ math] ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2-dr ^ 2 [/ math], donde [math] dr ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 [/ math] define la distancia espacial. y la pequeña [matemática] d [/ matemática] representa una diferencia infinitesimal. Solo tómala como indicando la diferencia en el tiempo, [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] coordina entre dos eventos cercanos.)

Una consecuencia de todo este kaboodle es que hay pares de puntos (es decir, eventos ; un punto en el espacio-tiempo representa un evento específico, es decir, un tiempo y un lugar) en un espacio-tiempo que están separados solo para que [matemática] ds ^ 2 = 0 [/ matemática]. Para estos eventos, [matemática] c ^ 2dt ^ 2 = dr ^ 2 [/ matemática], es decir, [matemática] dr / dt = c [/ matemática]. Es decir, para viajar entre estos dos eventos sin aceleración, la velocidad debe ser exactamente [matemática] c [/ matemática].

Pero hay otros pares de eventos. Específicamente, pares de eventos para los que [matemáticas] ds ^ 2> 0 [/ matemáticas], y también pares de eventos para los que [matemáticas] ds ^ 2 <0 [/ matemáticas]. (Sí, eso significa que según esta definición, [math] ds [/ math] sería una cantidad imaginaria para tales pares de eventos). Para dos eventos que tienen lugar en la misma ubicación espacial en algún sistema de coordenadas, [math] ds ^ 2 = dt ^ 2 [/ matemáticas]. Y se puede demostrar que para dos de estos eventos, [math] ds ^ 2> 0 [/ math] en cualquier sistema de coordenadas. Esta es la razón por la que sabemos que ninguna nave espacial puede viajar más rápido que la luz. Más rápido que la luz significaría viajar entre dos eventos que, en el sistema de coordenadas de alguien, se caracterizan por [matemáticas] ds ^ 2 <0 [/ matemáticas]; pero en el propio sistema de la nave espacial, sería [math] ds ^ 2 = dt ^ 2> 0 [/ math]. Los dos no pueden ser ambos verdaderos.

La matemática de incluso la relatividad especial es rica y fascinante, y no es particularmente difícil de aprender. Pero no, no significa que no pueda haber otras velocidades que no sean [matemáticas] c [/ matemáticas]. Simplemente le dice que para los eventos que se caracterizan por [math] ds ^ 2 = 0 [/ math], la velocidad de viaje entre ellos sería [math] c [/ math].

El espacio-tiempo no se define como s = ct. Esta ecuación describe el cono de luz directa en el espacio-tiempo.

Cualquier objeto puede moverse a cualquier lugar dentro de su cono de luz hacia adelante. Entonces, en términos matemáticos, las trayectorias permitidas en el espacio-tiempo están definidas por [math] s