Sí, el espacio-tiempo puede ser curvo sin importar a su alrededor.
Primero, una analogía basada en la gravedad newtoniana. Cuando la gravedad es débil (la curvatura es pequeña), la relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana. La métrica se reduce a la de Minkowski más una pieza que es lineal en el potencial newtoniano [matemática] \ phi [/ matemática], que satisface la ecuación de Poisson
[matemáticas] \ nabla ^ 2 \ phi = 4 \ pi G_N \ rho. [/ matemáticas]
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Si tiene algún problema aquí , a lo lejos hay una [matemática] \ phi [/ matemática] distinta de cero que disminuye como [matemática] 1 / r [/ matemática]. Ahora preguntemos cómo cuantificamos la curvatura. Eso se cuantifica en el tensor de curvatura de Riemann, que depende de dos derivadas de la métrica y, por lo tanto, de dos derivadas de [math] \ phi [/ math]. Mientras que los Laplacianos que actúan sobre [math] \ phi [/ math] desaparecen de las fuentes de la materia, otras segundas derivadas de [math] \ phi [/ math] no desaparecen, al igual que el tensor de Riemann.
Si todavía estás aquí, entonces no tienes miedo de un poco de matemática, así que explicaré. Ayuda a dividir el tensor de curvatura de Riemann en diferentes piezas. Si tomamos un rastro del tensor de Riemann, obtenemos el tensor de Ricci, [math] R_ {ab} \ equiv R_ {acbd} g ^ {cd} [/ math]. El bit sin rastro se denomina tensor de Weyl, [math] C_ {abcd} [/ math]. Si volteamos el rastro del tensor de Ricci obtenemos el tensor de Einstein, [matemáticas] G_ {ab} \ equiv R_ {ab} – \ frac {1} {2} g_ {ab} R_ {cd} g ^ {cd} [/matemáticas]. Ahora, las ecuaciones de Einstein dicen que el tensor de Einstein es proporcional al tensor de energía de estrés,
[matemáticas] G_ {ab} = 8 \ pi G_N T_ {ab}. [/ matemáticas]
Entonces, si estamos en una región del espacio-tiempo sin materia ni radiación, entonces [matemática] T_ {ab} = 0 [/ matemática], entonces el tensor de Einstein se desvanecerá, entonces el tensor de Ricci se desvanecerá. ¡Sin embargo, el tensor de Weyl no tiene que desaparecer! De hecho, el tensor de Weyl no desaparecerá si hay materia en algún lugar lejos.
Aún puede quejarse de que no respondí a la pregunta de OP de manera apropiada, porque todavía es materia de la curvatura de abastecimiento, solo materia distante, en lugar de la materia aquí .
En realidad no necesitamos materia en absoluto. Debido a que la relatividad general es no lineal, podemos encontrar una solución en la que no hay ningún lugar ([matemática] T_ {ab} = 0 [/ matemática]), pero todavía tenemos una curvatura distinta de cero ([matemática] R_ {abcd} \ neq 0 [/matemáticas]). El ejemplo más simple de esto es la métrica de Schwarzschild, una solución para un agujero negro esféricamente simétrico. ¡No hay nada en este hipotético espacio-tiempo, sin embargo, todavía es curvo!
