¿Cómo puedo entender visualmente qué hace que el nivel de energía de un objeto crezca cuadráticamente con la velocidad, mientras que su impulso solo crece linealmente?

Los objetos interactúan no solo en el espacio, sino también en el tiempo, espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Todos lo sabemos, pero el espacio-tiempo rara vez se usa para explicar el movimiento clásico. Pero la dimensión del tiempo es importante para comprender visualmente la relación entre energía e inercia: limita con la incomprensibilidad de la energía necesaria para alcanzar la velocidad pero no para mantenerla a perpetuidad (ausencia de gravedad, resistencia al viento, etc.) sin considerar el gradiente de tiempo . E igualmente desconcertante que un objeto que se mueve tres veces más rápido que otro objeto de tamaño idéntico tiene nueve veces la fuerza de penetración, pero eso es evidentemente cierto (ver mi respuesta original a continuación).

Con cada aceleración, no importa cuán leve sea, la experiencia de un objeto del paso del tiempo permanecerá invariable y, sin embargo, cambiará ligeramente desde la perspectiva de su punto de partida. Y esto es medible por relojes en los diferentes marcos de referencia. Pero la energía es lo que varía con la aceleración para permitir que la velocidad que pasa el tiempo (c) permanezca invariable para un observador o partícula incluso dentro de un marco de referencia acelerado. Esto, por supuesto, se habla en taquigrafía como la constancia de la velocidad de la luz.

Esta realidad impresionante, que siempre nos rodea, incluso a las velocidades clásicas de nuestra vida cotidiana, es lo que nos permite funcionar de manera idéntica en nuestro entorno, independientemente de su inercia general en relación con otros objetos lejanos y extremadamente rápidos, como los vistos. en los movimientos de la tierra. Pero para que funcione, cualquier interacción con objetos en otros estados de inercia debe ajustarse primero a ese estado antes de manifestarse allí. Específicamente, un objeto en movimiento en relación con usted experimenta un tiempo más lento (desde su propio punto de vista y no desde el suyo), cualquier energía aplicada desde su propio marco de referencia inercial para impactar ese objeto primero debe cerrar esa brecha al tener una cantidad de energía aplicada que se necesita para alinear sus referencias de tiempo. Su reloj debe ralentizarse para ir a la misma velocidad que la del objeto. De ahí la cuadratura. El espacio en sí mismo no ofrece resistencia al movimiento, es la constancia de c en todo momento lo que explica la resistencia a los cambios en el movimiento. El movimiento se considera mejor como el subproducto de cambiar la orientación temporal de un objeto.

Y también funciona a la inversa, como demostró Leibniz:

… el caso en el que un cuerpo A suspendido libremente en el aire cuya velocidad es 2, y la masa supuesta como 1, en ese momento golpea un ángulo de 60 grados B y B, la masa de cada uno de los cuales es 2, para, en En este caso, el cuerpo que golpea A permanece en reposo después del golpe, y los cuerpos B y B, cuya masa es 2 y que han recibido un cierto grado de velocidad, han adquirido 2 de fuerza, de cualquier manera que uno lo mire. Así, el cuerpo A con una velocidad de 2 comunicaba una fuerza de 4 al mismo tiempo.

El espacio-tiempo ofreció vislumbres de sí mismo a aquellos que prestaron mucha atención ya en el siglo XVII. Solo podría haber llevado a aquellos que lo notaron al borde de la cordura tratando de resolverlo todo. Condujo a Newton a proclamar que existían leyes del movimiento sin poder explicarlas más allá de declarar su existencia. Hoy tenemos la suerte de tener todo esto planeado y entendido.

Respuesta original:

Considere que Isaac Newton vivió toda su vida sin conocer esta relación cuadrática, porque simplemente no es un resultado intuitivo de la Mecánica Newtoniana. Un traductor de su trabajo al francés, Emilie du Chatelet *, puede recibir crédito por este descubrimiento:

Una de sus contribuciones más importantes a la ciencia fue su aclaración de los conceptos de energía y conservación de energía. Después de los experimentos realizados anteriormente por Gravesande de Willem, dejó caer pesadas bolas de plomo en un lecho de arcilla. Mostró que las bolas que golpeaban la arcilla con el doble de velocidad penetraban cuatro veces más profundamente en la arcilla; aquellos con tres veces la velocidad alcanzaron una profundidad nueve veces mayor. Esto sugirió que la energía es proporcional a mv2, no mv, como Newton había sugerido .

Los objetos que caen libremente caen cuatro veces más en el doble de tiempo y al mismo tiempo alcanzan el doble de velocidad. Esto refleja el experimento de Emilie con bolas de plomo que reveló por primera vez la relación cuadrática al demostrar que las bolas de arcilla penetraron la arcilla directamente proporcional a la altura desde la que se dejaron caer. La altura, o distancia, desde la cual la fuerza de gravedad actuó sobre las bolas de plomo determinó su energía cinética y, por lo tanto, su fuerza de penetración, y no su velocidad.

Un kilogramo caído:

Dist Vel KE Time      
1 m 4,4 m / s 9,8 julios 0,45 segundos
2 6.3 19.6
3 7.7 29.4
4 8,9 39,2 0,90

La distancia y la energía cinética se han cuadruplicado, mientras que la velocidad y el tiempo transcurrido se han duplicado. Esto no es intuitivo incluso para este ejemplo muy simple del mundo real, pero para mí ofreció una buena perspectiva complementaria sobre las relaciones involucradas, y una forma simple de enfocarse precisamente en lo que estaba ocurriendo.

* Gracias Paulo Gois por esto y mucho más. (El voto a favor de Paul solo debe interpretarse como aplicable a esta respuesta original).

Ok, entonces te diré lo que tengo en mente en este momento.
Energía y Momentum no necesitan ser dos cantidades independientes que finalmente se relacionaron. Supongamos que usted fuera un físico en la era prenewton y una mecánica intuitivamente entendida. Ahora definiste una cantidad arbitraria x. Y suponiendo que supieras matemáticas (cálculo) en ese momento. Todos los términos, es decir, energía, momento, fuerza, se reducen a una enésima derivada de x (digamos desplazamiento, aunque no lo sepas en la edad anterior al comienzo del período). En algunas situaciones, (por ejemplo: un cuerpo que no tiene interacción con ningún otro cuerpo, tiene constante mdx / dt y, por lo tanto, md / dt (dx / dt) = 0.
Para simplificar, le damos a estas cantidades algunos nombres como impulso, energía, fuerza, etc.
Si Q = [mdx / dt + amd / dt (dx / dt)], un ser alguna cantidad, hubiera sido constante o cero en algunos casos, habríamos definido Q como un nuevo término. Por otra parte, vería una pregunta sobre quora sobre por qué esta cantidad aumenta cúbicamente (supongamos) cuando el impulso aumenta linealmente.
No estoy seguro si esto responde a su pregunta.

Esto me parece casi un análogo al problema de la metafísica que Wittgenstein desmanteló.

No creo que las fórmulas digan nada sobre el universo, sino cómo lo definimos. La energía cinética es la suma del trabajo necesario para acelerar un cuerpo a una velocidad dada, por lo tanto, por definición, es la integral de la aceleración por la masa durante el período de tiempo en cuestión.

Este es solo el lenguaje que usamos para observar y hacer predicciones sobre el universo. El lenguaje no nos dice nada sobre por qué. La respuesta es que no lo sabemos.

Muy similar a la excelente respuesta de Mark, pero aquí hay otro ejemplo simple y perspicaz para crear una comprensión más intuitiva, sin cambiar el marco de referencia: si tuviera 2 resortes que tengan la misma energía;

Un resorte puede mover dos cajas a la velocidad v. Pero toda la energía extra de la segunda primavera solo se agrega a la segunda caja (al menos desde nuestro marco de referencia), mientras que esta acción también ‘roba’ la energía cinética de la primera uno (por lo que ahora contiene toda la energía de la primera y segunda primavera). Esto da como resultado que solo una caja se mueva a 2v.

Si la energía cinética fuera linealmente proporcional a la velocidad, la energía de un resorte adicional debería poder mover 2 cajas a 2v.

Trabajo = fuerza * distancia

Deja caer una pelota. Observe que la velocidad aumenta linealmente con cada tic del reloj, pero la distancia caída aumenta geométricamente. Dado que la fuerza es constante, esto significa que el trabajo que ocurre aumenta geométricamente.

En realidad es mucho peor de lo que pediste 😉

La energía cinética de una masa en movimiento viene dada por:

[matemáticas] KE = mc ^ 2 (\ frac {1} {\ sqrt {1 – v ^ 2 / c ^ 2}} -1) [/ matemáticas]

Puede ver que esta es la energía total menos su masa en reposo (en unidades de energía). Una expansión usando la serie Maclaurin da el término cuadrático.

El ‘cuadrático’ en términos de c es solo para hacer que las unidades sean correctas. De lo contrario, es el impulso el que tiene el término de velocidad extra como es de esperar.

El impulso viene dado por:

[matemáticas] p = \ frac {mu} {\ sqrt {1 – v ^ 2 / c ^ 2}} [/ matemáticas]

Conferencia 05

Asumiendo la mecánica clásica,

la energía crece cuadráticamente
cuando el momento crece linealmente

E = 1/2 mv ^ 2

e impulso, p = mv

es decir, E = p ^ 2 / (2m)

Vas cuesta abajo en tu bicicleta, a 40 km / h, no es tan aterrador

Vas en descenso en bicicleta a 80 km / h, ¡4 veces más aterrador!

E = 1/2 mv ^ 2

Usted solicitó un visual, por lo que solo puede ser tan simple como esto.

¡Próxima pregunta!