Si el volumen interno de un agujero negro es proporcional a su área de superficie del horizonte y al tiempo de existencia, ¿qué tan diferente es en comparación con la expansión del espacio en el universo versus un espacio de enésima dimensión sin una dimensión de tiempo?
Voy a simplificar un poco su pregunta e ignorar todos sus detalles, están muy confundidos. Intentaré responder una pequeña parte de tu pregunta. Es una buena pregunta, pero es demasiado amplia para que pueda abordarla de una vez. Tal vez otros se ocuparán de los otros aspectos de la misma, que no pretendo descartar. Entonces responderé solo esta parte en su lugar:
¿Cuál es el volumen dentro del horizonte de un agujero negro de Schwarzschild?
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Es una pregunta rara pero muy buena.
Primero debes mirarlo para encontrar un agujero negro eterno, en lugar de uno cuya masa esté creciendo con el “tiempo”.
El volumen espacial dentro de un agujero negro de Schwarzschild, a diferencia del área de la superficie del horizonte, depende completamente de la elección de las coordenadas de tiempo en el interior.
En resumen, depende de lo que quieras decir con “ahora” dentro del agujero negro.
El punto crítico a entender es realmente que la geometría Schwarzschild interior, totalmente diferente a la geometría exterior, no es estática.
No existe un campo vectorial de matanza de irrigación temporal que sea hipersuperficial ortogonal en la geometría interior de Schwarzschild.
Pero en el exterior [math] \ partial_t [/ math] es un vector Killing similar al tiempo de irrigación, y las rebanadas de tiempo de coordenadas Schwarzschild constantes son isométricas entre sí: la existencia de un campo de vector Killing en todas partes es exactamente lo que significa para un espacio-tiempo para ser estático de hecho.
La geometría interior es totalmente diferente, no se parece en nada a la geometría exterior. Hay una singularidad futura en el interior, y cada camino dirigido hacia el futuro como el tiempo alcanza la singularidad en un tiempo finito apropiado.
Entonces, el interior obviamente no es un espacio-tiempo estático.
Todo entra en la singularidad en el futuro interior.
Por lo tanto, el volumen en la geometría interior generalmente depende del tiempo y de la elección de coordenadas.
En las coordenadas de tiempo constante de Schwarzschild, calcular el volumen espacial implica hacer una integral que es singular en la superficie del agujero negro, pero puede hacer la integral de todos modos, y el resultado es cero.
En las coordenadas de Kerr-Schild, un cálculo de volumen similar produce:
[matemática] V = (6.567 \ cdots) \ veces (2 m) ^ 3 [/ matemática].
También se puede hacer en las coordenadas Novikov y Kruskal-Szekeres y el volumen depende del tiempo.
Aquí hay una muy buena discusión, o también puede buscar las matemáticas que necesita en Misner, Thorne y Wheeler y resolverlas usted mismo.
http://arxiv.org/pdf/0801.1734v1…
Para una mejor comprensión de la geometría de Schwarzschild, debe buscar y comprender el diagrama de Kruskal: Synge y Kruskal en la década de 1950 dieron lo que es la continuación analítica máxima de la métrica de Schwarzschild, que incluye cuatro regiones posibles que a menudo se llaman de manera poco imaginativa I, II, III y IV. De estas regiones, I es el exterior y II es el interior, III es una región exterior invertida en el tiempo y IV es un agujero blanco. La región a la que llegamos cuando cruzamos el horizonte desde el exterior depende de la elección de la dirección: ¿es nula, espacial o temporal, está dirigida al futuro o al pasado?
También hay un agujero de gusano no transitable en la geometría máximamente extendida que une las regiones I y III, y se llama puente de Einstein-Rosen.
En realidad, fue Lemaître quien se dio cuenta por primera vez en la década de 1930 que la singularidad en la métrica en el radio de Schwarzschild no es física, sino que se debe a una mala elección de coordenadas. Einstein y muchos otros relativistas importantes todavía creían que era una singularidad física a principios de la década de 1950. Synge ha sido olvidado en gran medida porque el sistema de coordenadas que eligió para demostrar que el espacio-tiempo atravesó la singularidad métrica en el horizonte no fue tan simple como el inventado por Kruskal y Szekeres.
Después de eso, también debe estudiar los diagramas de Penrose de los agujeros negros: dan una idea de la geometría global de las diversas soluciones de vacío exactas conocidas de las ecuaciones de Einstein.
Entonces estará listo para pensar en todas las otras preguntas que está dando vueltas.
