La velocidad mundial a lo largo de las líneas del tiempo es la velocidad de la luz dado el tiempo adecuado como la elección físicamente significativa del parámetro afín. [1]
La fuente de la confusión proviene del hecho de que el tiempo adecuado no es una elección única de la parametrización afín, ya que la ecuación geodésica permite una reescalada lineal del parámetro afín de la forma [matemáticas] \ sigma = \ alpha \ tau + \ beta [ /matemáticas]. La consecuencia de esto es que, en el caso general, la velocidad mundial es ahora un múltiplo escalar de la velocidad de la luz, [matemática] c / \ alfa [/ matemática].
Por lo tanto, puede parecer estrictamente una cuestión de conveniencia establecer [math] \ alpha = 1 [/ math] y tener una norma de tangentes temporales a la velocidad de la luz, y si esto simplemente se limitara a las líneas del mundo en el espacio vacío de Minkowski, entonces podría estar de acuerdo .
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A mi entender, los problemas comienzan cuando tenemos que modelar y describir sistemas físicos. ¿Cuál es el significado de los términos que describen los sistemas físicos gobernados por ecuaciones de evolución que ahora están parametrizadas en términos de sigma en lugar de tiempo apropiado? Parece que la única opción físicamente motivada del parámetro afín es el tiempo apropiado, que luego requiere que nuestra velocidad mundial sea idéntica a la de la luz.
Una pequeña nota técnica:
La velocidad a través del espacio-tiempo se puede calcular encontrando la psuedonorm de la velocidad 4, [math] u [/ math] y donde [math] \ lambda [/ math] es el parámetro afín, y se define como
[matemáticas] \ izquierda \ | u \ right \ | ^ 2 = u ^ \ alpha u_ \ alpha = \ dfrac {dx ^ \ alpha} {d \ lambda} \ dfrac {dx_ \ alpha} {d \ lambda} [/ math]
Que se puede escribir
[matemáticas] g _ {\ alpha \ beta} \ dfrac {dx ^ \ alpha} {d \ lambda} \ dfrac {dx ^ \ beta} {d \ lambda} = \ dfrac {g _ {\ alpha \ beta} \, dx ^ \ alpha dx ^ \ beta} {d \ lambda ^ 2} [/ math]
Para objetos masivos [1] tenemos [math] ds ^ 2 = g _ {\ alpha \ beta} \, dx ^ \ alpha dx ^ \ beta = \ pm \, c ^ 2 d \ tau ^ 2 [/ math] y el parámetro afín es el tiempo apropiado, [math] \ tau [/ math], y tenemos:
[matemáticas] \ izquierda \ | u \ right \ | ^ 2 = \ dfrac {g _ {\ alpha \ beta} \, dx ^ \ alpha dx ^ \ beta} {d \ lambda ^ 2} = \ dfrac {ds ^ 2} {d \ lambda ^ 2 } = \ dfrac {\ pm \, c ^ 2 d \ tau ^ 2} {d \ tau ^ 2} = \ pm \, c [/ math]
