Los campos electromagnéticos propagan la energía y la información contenida como ondas. Los potenciales debye son una forma de ver cómo se propagan esas ondas. Su dirección, magnitud y fase.
Una forma de ver estas ondas es a partir de las dos últimas ecuaciones de Maxwell en el dominio de tiempo estándar en el vacío sin carga ni corriente
[matemática] \ nabla \ veces \ mathbf {E} = – \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t} [/ math]
- Electrostática: ¿cómo sabe la dirección del campo E cuando tiene una línea finita con una densidad de carga homogénea? ¿Podrías mostrar un ejemplo?
- Si una línea es 1D, un plano 2D y el espacio 3D, ¿cómo puedo imaginar la cuarta dimensión?
- ¿Cómo han cambiado los generadores con el tiempo?
- Después de la exposición a los rayos gamma industriales, ¿qué pruebas de detección se pueden hacer para verificar los efectos adversos?
- Si tuviera un examen de electricidad y magnetismo, ¿volvería a leer los capítulos o resolvería la mayor cantidad de problemas posible?
[math] \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t} [/ math]
Estos dan una ecuación de onda cuando se combinan juntos.
[math] \ frac {\ partial ^ 2 \ mathbf {E}} {\ partial t ^ 2} = c ^ 2 \ Delta \ mathbf {E} [/ math]
Un campo eléctrico cambiante tuerce el campo magnético, y un campo magnético cambiante tuerce el campo eléctrico. Entonces se va.
Sin embargo, esto puede ser engorroso para trabajar.
Los campos acústicos también tienen ondas de propagación. Son ondas de compresión, no longitudinales como las electromagnéticas.
En el dominio de la frecuencia podemos usar la ecuación de Helmholtz
[matemáticas] \ Delta u + k ^ 2 u = 0 [/ matemáticas]
Esto no es tan malo. Bastante agradable en realidad. Nos gustaría hacer lo mismo para un campo EM.
Los potenciales de Debye son precisamente el tipo de campos escalares que satisfacen Helmholtz (La propagación de la onda descrita), y podemos construir los campos eléctricos y magnéticos a partir de ellos.
Lo siguiente se copia principalmente de otra pregunta que respondí.
[matemática] \ mathbf {A} = \ sqrt {\ sigma – i \ omega \ epsilon} \ mathbf {E} [/ math]
[math] \ mathbf {B} = \ sqrt {i \ omega \ mu} \ mathbf {H} [/ math]
Luego
[math] \ nabla \ times \ mathbf {A} = k \ mathbf {B} [/ math]
[math] \ nabla \ times \ mathbf {B} = k \ mathbf {A} [/ math]
donde tanto [math] \ mathbf {A} [/ math] como [math] \ mathbf {B} [/ math] satisfacen la ecuación vectorial de Helmholtz
[math] \ nabla \ times \ nabla \ times \ mathbf {A} – k ^ 2 \ mathbf {A} = 0 [/ math]
En una región sin fuentes y sin incluir el origen, podemos representar este campo electromagnético con un par de campos escalares [matemática] u, v [/ matemática]. Estos se conocen como potenciales de Deybe, y satisfacen la siguiente relación muy interesante que usa tanto el rizo como el rizo
[math] \ nabla \ times \ nabla \ times (u \ mathbf {r}) + k \ nabla \ times (v \ mathbf {r}) = \ mathbf {A} [/ math]
[math] \ nabla \ times \ nabla \ times (v \ mathbf {r}) + k \ nabla \ times (u \ mathbf {r}) = \ mathbf {B} [/ math]
Una forma de ver los potenciales de Debye es que las ecuaciones de Maxwell tienen mucho equipaje. Tenemos un par de campos vectoriales, pero las ecuaciones de Maxwell restringen severamente nuestro posible conjunto de soluciones. Realmente podemos obtener toda la información que necesitamos al tener dos campos escalares (complejos). Muestra cómo se propagan las ondas, al igual que el sonido.
Hay algunas limitaciones a esta representación. En el dominio de la frecuencia, esencialmente estamos viendo una instantánea única. No estamos viendo cómo los cambios en el campo en diferentes pasos de tiempo influirán en él. Además, obtenemos una singularidad si incluimos el origen en nuestro sistema de coordenadas. Y las fuentes en el campo en cuestión no encajan en la construcción (se necesita poner más trabajo en eso).
Entonces, sobre todo, puede pensar en los potenciales debye como las ‘ondas’ de las ondas EM desde un cierto marco de referencia.
