Se mantienen dos cargas positivas iguales en los puntos A y B y se estudia el potencial eléctrico en los puntos entre A y B. Si bien pasar del potencial A al B primero disminuirá y luego aumentará, ¿por qué?

Podemos ver esta pregunta desde dos perspectivas. Uno en sentido matemático y otro en sentido intuitivo y lógico. Los cálculos matemáticos se basan en los axiomas básicos, pero es importante entender por qué sigue lógicamente. Una vez que hayamos hecho eso, también podemos confirmarlo a través de las matemáticas.

Enfoque Lógico

Primero comencemos por definir el potencial. Es importante saber lo que significa.

La energía potencial de una carga mantenida en un punto es lo negativo del trabajo realizado en un cuerpo para llevarlo lentamente desde el infinito a ese punto.

Entonces, básicamente, si tienes un lugar con muchas cargas y cosas, el cuerpo experimentará algo de fuerza mientras lo traes del infinito. Por lo tanto, deberá aplicar un poco de fuerza y, por lo tanto, trabajar para asegurarse de que se mueva lentamente. Lo negativo del trabajo realizado por usted es la energía potencial de la carga en el punto.

El potencial de una carga unitaria mantenida en un punto es el potencial de ese punto.

Ahora imagine que ha mantenido una carga de prueba de unidad positiva Q a mitad de camino entre A y B. Las dos cargas mantenidas en A y B son iguales y equidistantes de Q. Entonces, ambas cargas tiran de Q por igual. Entonces podemos esperar que Q no se mueva en absoluto.

Ahora sabemos que la fuerza entre dos cargas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Entonces, si tenemos dos cargas colocadas más cerca una de la otra, se tirarán / empujarán entre sí con una fuerza más fuerte que si estuvieran más lejos.

Ahora imagine que lo coloca más cerca del punto A.

La carga de prueba y las cargas en A y B son todas positivas. Así que esperaríamos que se repelen entre sí. Por lo tanto, las cargas Q y A se alejarán más que las cargas Q y B. Entonces, la carga Q experimentará una fuerza más fuerte alejándose de A y, por lo tanto, tendrá una tendencia a moverse hacia B.

Ahora digamos que los puntos A y B son fijos y Q puede moverse. Por lo tanto, deberíamos esperar ver que la carga Q se acelere hacia B hasta que alcance el punto medio. En el punto medio, estará en equilibrio, es decir, ninguna fuerza actúa sobre él. Sin embargo, ya se está moviendo hacia B con cierta velocidad. Por lo tanto, continúa hacia B. Sin embargo, cuando cruza el punto medio, ahora está más cerca de B. Así que ahora B lo empuja con más fuerza. Por lo tanto, se ralentiza hasta que se detiene y luego comienza a acelerar hacia A. Luego, nuevamente cruza el punto medio y lo mismo sucede nuevamente.

Una de las leyes básicas de la naturaleza establece que cualquier cuerpo quiere pasar de una energía más alta a una energía más baja.

Hemos visto que la unidad de carga quiere moverse desde cualquier punto entre A y B hacia su punto medio. Y en el punto medio, si no tiene velocidad, no se moverá a ninguna parte. Como todo quiere reducir su energía, podemos decir que los puntos circundantes tienen una energía más alta mientras que el punto medio tiene la energía más baja. Entonces podemos imaginar que el punto medio es como un valle entre dos colinas, como un sumidero.

Entonces, lógicamente, tiene sentido que el potencial (la energía potencial de una carga unitaria) disminuya a medida que nos movemos de A al punto medio y luego aumente a medida que nos movemos del punto medio a B.

Enfoque matemático

El potencial debido a una carga Q es [matemática] kQ / r [/ matemática], donde r es la distancia del punto desde la carga yk es la constante [matemática] 1 / (4πε) [/ matemática].

Deje que la distancia entre A y B sea [matemática] d [/ matemática]. Entonces, el potencial (V) de un punto a una distancia [matemática] r [/ matemática] a lo largo de la línea que une A y B es [matemática] (kq [/ matemática] [matemática] / r) + (kq / (dr) ) [/ math], donde q es la carga de A y B.

Por lo tanto,

[matemática] V (r) [/ matemática] [matemática] = kq (1 / r + 1 / (dr)) = kqd / (r. (dr)) [/ matemática]

La gráfica de V con r es –

Donde el potencial está a lo largo del eje y y la distancia r está a lo largo del eje x.

Entonces podemos ver que el potencial disminuye y luego aumenta al pasar de A a B.

Deje que la carga A esté en el origen, y cargue B en el eje X en el punto [matemática] (a, 0) [/ matemática]. Por lo tanto, B está a una distancia [matemática] a [/ matemática] del origen. La distancia entre las dos cargas es [matemática] a [/ matemática].

Deje que [math] P (x, 0) [/ math] esté en un punto aleatorio general en el eje X entre las dos cargas, de modo que [math] 0 <= x <= a [/ math].

El potencial eléctrico en el punto [matemática] P [/ matemática] se obtiene como

[matemática] V (P) = V_A (P) + V_B (P) [/ matemática] – es decir, el potencial en [matemática] P [/ matemática] es la suma escalar de los potenciales debido a las cargas [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], independientemente. Esto es superposición.

Usando la forma estándar de potencial de la Ley de Coulomb –

[matemática] V (x) = – \ dfrac {kQ} {x} – \ dfrac {kQ} {ax} [/ matemática]

[matemáticas] V (x) = – kQ (\ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {ax}) [/ matemáticas]

[matemáticas] V (x) = – kQ (\ dfrac {a-x + x} {x (ax)}) [/ matemáticas]

[matemáticas] V (x) = – kQ (\ dfrac {a} {x (ax)}) [/ matemáticas]

Aquí, todo es constante excepto [matemáticas] x [/ matemáticas], que varía a medida que avanza de A (x = 0) a B (x = a)

Busquemos el valor mínimo de la función [matemática] V (x) [/ matemática] usando las derivadas y encontremos dónde la función alcanza los mínimos locales. Para los mínimos locales, la primera derivada debe ser 0 y la segunda derivada debe ser mayor que 0.

[matemática] \ dfrac {dV (x)} {dx} = 0 [/ matemática] y [matemática] \ dfrac {d ^ 2V (x)} {dx ^ 2}> 0 [/ matemática]

Considerar

[matemáticas] \ dfrac {dV (x)} {dx} = – kQa \ dfrac {d} {dx} (\ dfrac {1} {ax-x ^ 2}) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {a-2x} {(ax-x ^ 2) ^ 2} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a-2x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {a} {2} [/ matemáticas]

Ahora considere

[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2V (x)} {dx ^ 2} = – kQa \ dfrac {d} {dx} (\ dfrac {a-2x} {(xa-x ^ 2) ^ 2}) [ /matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2V (x)} {dx ^ 2} = – kQa (\ dfrac {(a-2x) ^ 2} {(ax-x ^ 2) ^ 3} + \ dfrac {-2 } {(ax-x ^ 2) ^ 2}) [/ math]

Ponga [math] x = \ dfrac {a} {2} [/ math] en la segunda derivada anterior. Usted obtiene –

[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2V (x)} {dx ^ 2} | _ {a / 2} = – kQa (- \ dfrac {32} {a ^ 4}) = \ dfrac {32kQ} {a ^ 3} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ dfrac {d ^ 2V (x)} {dx ^ 2} | _ {a / 2}> 0 [/ matemáticas]

Vemos que la función potencial tiene un mínimo local en [matemática] x = \ dfrac {a} {2} [/ matemática], es decir, el potencial es mínimo en el punto medio entre A y B. Por lo tanto, disminuye de A moviéndose hacia B , alcanza el valor mínimo en [matemática] x = a / 2 [/ matemática] y nuevamente aumenta el movimiento hacia B.

¿Por qué pasa esto?

Vemos que la carga siempre fluye hacia el potencial más bajo, así como los objetos masivos caen hacia la tierra, el agua fluye hacia abajo, etc. El potencial eléctrico en el punto medio entre A y B es 0, debido a las fuerzas electrostáticas debido a que dos cargas son iguales y opuestas se cancelan El uno al otro. Con la fuerza siendo cero, la carga de prueba mantenida en el punto medio no se mueve o si se mantiene en cualquier otro lugar en el eje X, se detiene en este punto. En cualquier lugar donde mantenga la carga de prueba, se moverá hacia el punto medio y se detendrá. Como si fluyera desde cualquier lugar hacia el punto medio, por lo tanto, podemos concluir que este es el punto de menor potencial.

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