Las fórmulas reales son:
[matemáticas] \ large \ boxed {\ vec {u ‘} = \ frac {1} {1- \ frac {u_x v} {c ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} u_x – v \\ u_y \ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} \\ u_z \ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} \ end {matrix} \ right)} [/ math ]
Para una partícula que se mueve a velocidad [matemática] \ vec {u} [/ matemática] en un cuadro S, que se mueve a velocidad [matemática] v [/ matemática] a lo largo del eje x, con respecto al cuadro S ‘, en el que Esta medida tiene lugar.
- ¿Existe un límite teórico de 'velocidad' para algún proceso físico? Quiero decir, además de toda la cuestión de la velocidad de la luz, ¿hay algún otro límite de velocidad?
- Si miro una galaxia a 13 mil millones de años luz de distancia, ¿cuánto más cerca estaba cuando emitió su luz por primera vez?
- Si teóricamente alcanzo la velocidad de la luz, ¿un observador ve mi reloj como parado? ¿Qué pasa si teóricamente supero la velocidad de la luz?
- Si pudieras viajar más rápido que la luz, ¿qué harías?
- ¿Cuál es la prueba de que nada puede moverse a una velocidad mayor que la de la luz?
Para completar, ahora deduzco estas expresiones en su totalidad (¡y hago un ejercicio interesante con un automóvil en un tren justo al final!)
La forma más rápida y fácil de hacer esto es usar las transformadas de Lorentz en las 4 velocidades asociadas.
Suponemos que en algún cuadro S, un objeto se mueve con cierta velocidad [math] \ vec {u} [/ math]. Nos gustaría expresar esto en términos de una velocidad de 4, que produce cantidades invariantes de Lorentz.
La forma ingenua de hacer esto es escribir:
[matemáticas] U ^ \ mu_ {ingenuo} = \ frac {dX ^ \ mu} {dt} = \ left (\ begin {matrix} c \\ \ vec {u} \ end {matrix} \ right) [/ math ]
Pero resulta que este no es un buen 4-vector, lo que significa que no obedece las reglas de transformación correctas.
Por lo tanto, definimos la velocidad de 4 de la siguiente manera:
[matemáticas] U ^ \ mu = \ frac {dX ^ \ mu} {d \ tau} [/ matemáticas]
Donde [math] \ tau [/ math] es el tiempo apropiado en el marco de descanso.
Sabemos que para un objeto que se mueve a velocidad [matemática] u [/ matemática], la diferencia [matemática] \ frac {dt} {d \ tau} = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {u ^ 2} {c ^ 2}}} = \ gamma_u [/ math]
Esta es la dilatación del tiempo, y nos permite escribir:
[matemáticas] U ^ \ mu = \ frac {dt} {d \ tau} [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {dX ^ \ mu} {dt} [/ matemáticas]
Y por lo tanto:
[matemáticas] U ^ \ mu = \ left (\ begin {matrix} \ gamma_u c \\ \ gamma_u u_x \\ \ gamma_u u_y \\ \ gamma_u u_z \ end {matrix} \ right) [/ math]
Donde he dividido [math] \ vec {u} [/ math] en las coordenadas cartesianas.
Ahora recordamos cómo los 4 vectores se transforman entre cuadros:
Para un vector [matemático] U [/ matemático] en el cuadro S, el vector correspondiente en un cuadro S ‘, que se mueve a una velocidad relativa [matemática] v [/ matemático] viene dado por:
[matemáticas] U ‘= \ Lambda U [/ matemáticas]
Donde [math] \ Lambda [/ math] es la matriz de transformación de Lorentz.
Si suponemos que hemos rotado nuestros ejes de modo que la velocidad del cuadro [matemática] \ vec {v} = v \ hat {x} [/ matemática], entonces la matriz es simplemente:
[matemática] \ Lambda = \ left (\ begin {matrix} \ gamma_v & – \ beta \ gamma_v & 0 & 0 \\ – \ beta \ gamma_v & \ gamma_v & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix} \ right) [ /matemáticas]
Donde es importante notar la diferencia entre [math] \ gamma_u [/ math] y [math] \ gamma_v [/ math]. [matemáticas] \ beta [/ matemáticas] es simplemente [matemáticas] \ frac {v} {c}. [/ matemáticas]
Por lo tanto, multiplicamos la matriz [math] \ Lambda [/ math] por el vector [math] U [/ math] para obtener:
[matemáticas] U ‘^ \ mu = \ left (\ begin {matrix} \ gamma_v \ gamma_u \ left (c – \ beta u_x \ right) \\ \ gamma_v \ gamma_u \ left (u_x – \ beta c \ right) \ \ \ gamma_u u_y \\ \ gamma_u u_z \ end {matrix} \ right) [/ math]
Excepto: sabemos que para una partícula que se mueve a velocidad [matemática] w [/ matemática] en el cuadro S ‘, ¡el vector 4 debe tomar la misma forma que [matemática] U [/ matemática] en S!
[matemáticas] U ‘^ \ mu = \ left (\ begin {matrix} \ gamma_w c \\ \ gamma_w w_x \\ \ gamma_w w_y \\ \ gamma_w u_z \ end {matrix} \ right) [/ math]
Entonces podemos equiparar estas dos expresiones, ya que deben describir la misma situación:
[matemáticas] \ left (\ begin {matrix} \ gamma_w c \\ \ gamma_w w_x \\ \ gamma_w w_y \\ \ gamma_w u_z \ end {matrix} \ right) = \ left (\ begin {matrix} \ gamma_v \ gamma_u \ left (c – \ beta u_x \ right) \\ \ gamma_v \ gamma_u \ left (u_x – \ beta c \ right) \\ \ gamma_u u_y \\ \ gamma_u u_z \ end {matrix} \ right) [/ math]
Por lo tanto, podemos examinar la primera línea y determinar que:
[matemáticas] \ gamma_w c = \ gamma_u \ gamma_v \ left (c- \ beta u_x \ right) [/ math]
[matemáticas] \ gamma_w = \ gamma_u \ gamma_v \ left (1- \ frac {v u_x} {c ^ 2} \ right) [/ math]
Entonces podemos mirar la segunda línea:
[matemáticas] \ gamma_w w_x = \ gamma_v \ gamma_u \ left (u_x – \ beta c \ right) [/ math]
¡Pero ahora tenemos una expresión para [math] \ gamma_w [/ math]!
Dividiendo entre [math] \ gamma_w [/ math], y usando la definición [math] \ gamma_w = \ gamma_u \ gamma_v \ left (1- \ frac {v u_x} {c ^ 2} \ right) [/ math] , obtenemos:
[matemáticas] w_x = \ frac {u_x – v} {1- \ frac {u_x v} {c ^ 2}} [/ matemáticas]
Luego repetimos exactamente la misma expresión para [math] w_y [/ math] y [math] w_z [/ math] para obtener:
[matemática] w_ {y / z} = [/ matemática] [matemática] \ frac {u_ {y / z}} {\ gamma_v \ left (1- \ frac {u_x v} {c ^ 2} \ right)} [/matemáticas]
Esta es la respuesta que hemos estado buscando:
[matemáticas] \ large \ boxed {\ vec {u ‘} = \ frac {1} {1- \ frac {u_x v} {c ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} u_x – v \\ u_y \ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} \\ u_z \ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} \ end {matrix} \ right)} [/ math ]
Esta es la ley de transformación para el movimiento 3D en el régimen relativista.
Podemos comparar esto con lo que nuestra intuición debería decirnos que debería ser:
[matemáticas] \ vec {u ‘} _ {clásico} = \ left (\ begin {matrix} u_x – v \\ u_y \\ u_z \ end {matrix} \ right) [/ math]
Esta es la transformación clásica del marco, y lo que hace tu cerebro automáticamente.
Podemos ver que si [matemática] u_x [/ matemática] y [matemática] v \ ll c [/ matemática] entonces [matemática] \ frac {u_x v} {c ^ 2} \ aprox 0 [/ matemática] y [matemática ] \ gamma \ aprox 1 [/ math] – lo que hace que la ecuación relativista se vea exactamente como nuestra intuición!
Esto es bueno: la relatividad predice cosas sensibles a bajas velocidades; si no fuera así, ¡deberíamos estar preocupados!
La expresión s para las transformaciones de velocidad se da convencionalmente en un formato vectorial elegante:
[matemáticas] \ large \ vec {w} _ {\ parallel} = \ frac {\ vec {u} _ {\ parallel} – \ vec {v}} {1- \ frac {\ vec {u} \ cdot \ vec {v}} {c ^ 2}} [/ math]
[matemática] \ grande \ vec {w} _ \ bot = [/ matemática] [matemática] \ frac {\ vec {u} _ \ bot} {\ gamma_v \ left (1- \ frac {\ vec {u} \ cdot \ vec {v}} {c ^ 2} \ right)} [/ math]
Donde el símbolo [math] \ parallel [/ math] denota componentes de la velocidad paralela a la velocidad del cuadro y [math] \ bot [/ math] es perpendicular.
Como nos ocupamos de alinear nuestros ejes de modo que [math] \ vec {u} _ \ parallel = u \ hat {x} [/ math], esta notación es un poco exagerada, pero aparece en muchos textos, por lo que se incluye para evitar cualquier confusión entre expresiones en conflicto!
Ahora podemos usar esta expresión para averiguar qué sucede con todas estas malditas preguntas de “auto de carrera en un tren” sobre las que la gente sigue preguntando.
Supongamos que tiene un auto de carreras dentro de un vagón de tren. El auto de carrera se mueve a 100 mph en relación con el interior del tren.
El tren en sí se mueve a 50 mph por debajo de la velocidad de la luz, según lo medido por las vías.
¿El auto de carrera excede la velocidad de la luz cuando se mide por las pistas?
Como el auto de carrera se mueve en la misma dirección que nuestro tren, podemos ignorar todos los términos [math] u_y [/ math]; lo único que importa es:
[matemáticas] w_x = \ frac {u_ {auto} – v} {1- \ frac {u_x v} {c ^ 2}} [/ matemáticas]
Es necesario realizar un cambio más: el “marco de seguimiento” se mueve con velocidad negativa [math] v_ {train} [/ math], por lo que debemos cambiar nuestros signos menos a +.
[matemáticas] w = \ frac {u_ {auto} + v_ {tren}} {1+ \ frac {u_ {auto} v_ {tren}} {c ^ 2}} [/ matemáticas]
Usted conecta los números y encuentra que la velocidad del
[matemáticas] w_ {auto} = 2.99792435630006676843173278074571240… \ veces 10 ^ 8 [/ matemáticas] m / s
Que sale como:
[matemáticas] w_ {coche} = 0.9999999253817341757249052545363607538654… c [/ matemáticas]
El automóvil no supera la velocidad de la luz.
