Deje que las dos masas sean [matemáticas] m_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] m_2 [/ matemáticas]. Como inicialmente están en reposo, su movimiento será a lo largo de una línea recta. Deje que las coordenadas respectivas para las dos masas sean [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas]. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que [matemática] x_2> x_1 [/ matemática] hasta el momento [matemática] t = t_c [/ matemática] cuando chocan. Descuidamos el tamaño de las masas en relación con su separación inicial [matemáticas] D [/ matemáticas].
Según la segunda ley del movimiento de Newton y la ley de la gravitación universal, la fuerza que actúa sobre la primera masa es:
[matemáticas] m_1 \ ddot x_1 = \ frac {G m_1 m_2} {(x_2 – x_1) ^ 2} ~, \ tag 1 [/ matemáticas]
- ¿Cómo median físicamente los gravitones la fuerza de la gravedad?
- ¿Se dilatará el tiempo en un objeto en un movimiento descendente bajo la gravedad?
- Si la Tierra fuera hueca, ¿qué tan pesada debería ser la concha esférica para que la gravedad fuera de 1G? Que tan denso
- Si dos objetos aceleran simultáneamente con la misma velocidad y en la misma dirección, ¿son estacionarios entre sí?
- ¿Existen todos los objetos en el universo dentro de las galaxias?
mientras que la fuerza sobre la segunda masa es
[matemáticas] m_2 \ ddot x_2 = – \ frac {G m_1 m_2} {(x_2 – x_1) ^ 2} ~. \ tag 2 [/ matemáticas]
Los puntos dobles arriba de [matemáticas] x_ {1,2} [/ matemáticas] indican la segunda derivada con respecto al tiempo (es decir, la aceleración), mientras que [matemáticas] G = 6.67408 \ veces 10 ^ {- 11} ~ \ hbox {N $ \ cdot $ m} ^ 2 / \ hbox {kg} ^ 2 [/ math] es la constante gravitacional universal.
Escribir [math] \ ell \ equiv x_2 – x_1 [/ math] para la separación lineal entre las masas, Eqs. (1) y (2) implican que
[matemáticas] \ ddot \ ell = – \ frac {G (m_1 + m_2)} {\ ell ^ 2} ~. \ tag 3 [/ matemáticas]
La solución a la ecuación diferencial (3) da la separación [matemática] \ ell [/ matemática] en función del tiempo [matemática] t [/ matemática]. Lo que queremos saber es el tiempo [math] t_c [/ math] en el que [math] \ ell (t = t_c) = 0 [/ math].
Siempre puedo reescalar mis unidades de longitud para que la separación inicial sea [matemática] D = 1 [/ matemática]. Si también vuelvo a escalar mis unidades de tiempo para que
[matemáticas] \ sqrt {\ frac {D ^ 3} {G (m_1 + m_2)}} = 1 [/ matemáticas]
entonces, en mis nuevas unidades, la ecuación. (3) se convierte simplemente
[matemáticas] \ ddot \ ell = – \ ell ^ {- 2} ~. [/ matemáticas]
Esta ecuación la puedo resolver numéricamente en Mathematica , para las condiciones iniciales [math] \ ell (0) = 1 [/ math] y [math] \ dot \ ell (0) = 0 [/ math]. El resultado se representa a continuación:
Como puede ver, en las unidades reescaladas las dos masas chocan cuando [math] t = 1.11072 \ ldots [/ math]
Para traducir esto nuevamente a las unidades físicas, debemos deshacer el reescalado, lo que nos da:
[math] t_c = \ sqrt {\ frac {D ^ 3} {G (m_1 + m_2)}} \ times 1.11072 \ ldots \ tag 4 [/ math]
Esto fue lo más lejos que llegué por mi cuenta. Sabía que, dado que este problema puede “reducirse a cuadraturas” (es decir, [math] \ ell (t) [/ math] puede escribirse en términos de una integral) tenía que ser posible expresar el factor numérico [math ] 1.11072 \ ldots [/ math] analíticamente. Una forma de hacerlo es utilizar la conservación del momento (y, por lo tanto, del centro de masa) y de la energía para escribir una ecuación diferencial de primer orden para [matemáticas] x_1 (t) [/ matemáticas], que luego puede resolver por separación de variables. Pero la integral resultante parece complicada.
Al regresar a Quora , noté la respuesta de Borne James, que reduce brillantemente este problema a una aplicación de la tercera ley de Kepler. Como su respuesta es un poco difícil de leer, déjenme explicarlo con mayor detalle.
Las dos masas que se mueven directamente una hacia la otra es un caso limitante del problema de dos cuerpos, con las órbitas elípticas de las masas alrededor de su centro de masa que se vuelven muy alargadas. En particular, como la excentricidad [matemática] e [/ matemática] tiende a 1, el eje semi-mayor [matemática] a [/ matemática] se vuelve mucho más grande que el eje semi-menor [matemática] b [/ matemática] (ver ejes semi-mayores y semi-menores) y las órbitas como líneas casi rectas. Se puede demostrar rigurosamente que, para el problema de dos cuerpos, el período del movimiento orbital depende solo del eje semi-mayor [matemática] a [/ matemática], que en este caso es [matemática] D / 2 [/ matemáticas]. Esta es la tercera ley de Kepler.
Por lo tanto, consideremos otra órbita con el mismo período que es mucho más fácil de describir matemáticamente: una órbita circular ([matemática] e = 0 [/ matemática]), en la que el eje semi-mayor es solo el radio [matemática] R [/ matemática ] y la atracción gravitacional es igual a la fuerza centrípeta [matemática] m \ omega ^ 2 R [/ matemática], donde [matemática] \ omega [/ matemática] es una velocidad angular constante. Para mayor simplicidad, consideramos que una de las masas está fija en el centro del círculo, lo que requiere trabajar con la masa reducida
[matemáticas] \ mu = \ frac {m_1 m_2} {m_1 + m_2} [/ matemáticas]
en la expresión para la fuerza centrípeta. Por lo tanto, tenemos, para la órbita circular:
[matemáticas] \ mu \ omega ^ 2 R = \ frac {G m_1 m_2} {R ^ 2} ~. \ tag 5 [/ matemáticas]
Podemos escribir [math] \ omega = 2 \ pi / T [/ math], donde [math] T [/ math] es el tiempo que le toma a una de las masas recorrer la órbita circular del radio [ matemáticas] R [/ matemáticas]. Tomando [matemáticas] R = D / 2 [/ matemáticas] y resolviendo para [matemáticas] T [/ matemáticas] en la ecuación. (5) encontramos que
[matemática] T = \ frac {\ pi} {\ sqrt 2} \ cdot \ sqrt {\ frac {D ^ 3} {G (m_1 + m_2)}} ~. \ tag 6 [/ matemática]
El período [matemáticas] T [/ matemáticas] en la ecuación. (6) es el tiempo que les tomaría a las masas volver a sus posiciones iniciales, si evitaran por poco chocar en el centro de masa. Por lo tanto, el momento de la colisión es
[matemáticas] t_c = \ frac T 2 = \ frac {\ pi} {2 \ sqrt 2} \ cdot \ sqrt {\ frac {D ^ 3} {G (m_1 + m_2)}} ~. [/ math]
Podemos verificar que [math] \ pi / (2 \ sqrt 2) = 1.11072 \ ldots [/ math], de modo que esto concuerde con el resultado numérico en la ecuación. (4)
Post-script : Me alegra que hayas hecho esta pregunta, porque cuando estaba en la escuela secundaria intenté calcular cuánto tiempo tomaría dos bolas de boliche, flotando libremente en el espacio profundo o en un satélite en órbita, para pasar de ser a un metro de distancia de colisionar debido a su atracción gravitacional mutua. En aquel entonces no podía resolver ese problema y lo había olvidado por completo hasta que vi su pregunta aquí en Quora . Ahora veo que la respuesta es más corta de lo que esperaba: menos de diez horas.
