Por simetría, sabemos que el campo eléctrico de una carga puntual apunta hacia afuera en cada punto (o hacia adentro, dependiendo del signo de la carga). Por lo tanto, el gradiente también debe tener la misma simetría, y con ese conocimiento podemos calcular el gradiente en un punto a lo largo de una dirección “fácil” y luego simplemente rotar nuestras coordenadas para obtener el gradiente en cualquier otro punto. Usaremos la dirección x . El campo eléctrico en la dirección x en un punto [matemático] (x, 0,0) [/ matemático] a lo largo del eje x es solo:
[matemáticas] E_x = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon_0x ^ 2} [/ matemáticas]
Los componentes en la otra dirección son cero, por simetría.
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El gradiente es solo la derivada de eso:
[matemáticas] \ nabla E_x = \ frac {\ partial \ bf {E}} {\ partial x} \ hat {\ bf {x}} + \ frac {\ partial \ bf {E}} {\ partial y} \ hat {\ bf {y}} + \ frac {\ partial \ bf {E}} {\ partial z} \ hat {\ bf {z}} = \ frac {dE_x} {dx} \ hat {\ bf {x }} = \ frac {-q} {2 \ pi \ epsilon_0x ^ 3} \ hat {\ bf {x}} [/ math]
Ahora, solicitó el gradiente del campo eléctrico, que es un campo vectorial, lo que significa que su gradiente es un tensor , que representa la derivada de cada componente en cada dirección, con un total de nueve componentes escalares (usaré la letra G para representar estos componentes):
[matemáticas] G_ {xx} = \ frac {-q} {2 \ pi \ epsilon_0x ^ 3} [/ matemáticas]
[matemáticas] G_ {xy} = G_ {xz} = G_ {yx} = G_ {yy} = G_ {yz} = G_ {zx} = G_ {zy} = G_ {zz} = 0 [/ math]
Eso nos da la magnitud del gradiente en ese punto, y por simetría sabemos que la magnitud es la misma en cada punto a la misma distancia de la carga puntual, por lo que todo lo que tenemos que hacer es realizar una transformación de coordenadas adecuada para expresar el gradiente en términos de sus componentes cartesianos en cualquier punto.
