¿Qué tan difícil y difícil es aprender y comprender el programa Langlands?

La respuesta depende, como en la mayoría de este tipo de preguntas, de quién es usted, cuál es su nivel de educación matemática y cuál es su propósito de entender el tema.

Supongo que tiene al menos un título en matemáticas superior a BA, con un enfoque en matemáticas puras, en particular álgebra, geometría algebraica y / o teoría de números. Tiene la oportunidad de asistir a una escuela importante, con investigadores de primer nivel en esa área, para un programa de posgrado. Y su propósito es que pueda contribuir con una investigación original en el campo.

Si mis suposiciones coinciden con su situación y planes, le tomaría quizás 2–3 años de intenso estudio y trabajo duro para captar conceptos, historia, ideas, teoremas principales ya probados y tener un punto de partida para su propio trabajo.

Si estás más lejos que eso, ¿por qué preguntas? Sabrás mejor que yo.

Si falta alguno de los anteriores, lo siento. Entonces todo el asunto no tiene sentido; al menos tú eres el niño mirando una foto del Monte Everest y preguntando qué se necesita para llegar allí.

Una palabra de advertencia: las personas a menudo hacen este tipo de preguntas cuando quieren aprender esto leyendo libros, etc. OLVIDELO. Esta es un área en la que necesita contacto personal permanente con una persona muy mayor (no necesariamente por edad) para clasificarlo por usted.

Si desea comprender el programa Langlands con detalles técnicos, necesitará varias vidas. Es sobre todo un edificio creado. Muy pocas personas conocen las pruebas de resultados importantes.

Un resultado básico es la descomposición espectral enterrada en el capítulo 7 de Langlands de “Sobre la ecuación funcional satisfecha por la serie Eisenstein”. Nadie, incluidas personas como Harish-Chandra, ha escrito una descripción legible de este resultado. Todos lo citan pero nadie lo sabe realmente.

Mi sugerencia sería comenzar con el último capítulo del libro de VS Varadarajan, Euler Through Times, una nueva mirada a los viejos temas.

Depende mucho de lo que entiendas por “entender”. El programa Langlands abarca un campo enorme en matemáticas, que contiene muchas ideas de formas automorfas (análisis), variedades Shimura (geometría algebraica), teoría de la representación y teoría de números. Comprender todos estos aspectos en profundidad, incluidas todas las pruebas (algunas de calibre de medallas Fields), es muy ambicioso. Solo hay muy pocas personas, * si las hay *, que poseen este nivel de comprensión. Incluso los profesores famosos que trabajan en el programa Langlands generalmente (¿siempre?) Se concentrarán en ciertos aspectos. El programa Langlands es sin duda uno de los programas / asignaturas más difíciles de entender en matemáticas.

Pero para trabajar en un tema necesitas mucho menos. Solo necesita una comprensión vaga de la imagen general y solo tiene que comprender uno o dos aspectos en profundidad, posiblemente aceptando varios grandes resultados y teorías como cajas negras. Este nivel de comprensión ciertamente puede ser alcanzado por un estudiante de doctorado.

Por ejemplo, si desea leer “Una introducción al programa Langlands” de Bernstein, Gelbart et al, puede llegar bastante lejos con solo un poco de experiencia en teoría analítica y algebraica de números, teoría de representación y análisis de Fourier (incluidas las distribuciones). Esto es algo que muchos estudiantes graduados interesados ​​en esta área sabrán cuando tomen sus exámenes.

Después de completar una licenciatura en matemáticas estándar (o equivalente), necesitará al menos 2 años de estudios de posgrado para cubrir los requisitos previos. Entonces probablemente necesitará al menos 3 años más para leer los documentos fundamentales sobre Langlands y ponerse al día con el estado del arte.

Dado que algunas personas hacen su doctorado en esta área, no creo que la afirmación de que necesite un doctorado y otros 10 años de estudio adicionales para comprender que sea cierto. Sin embargo, creo que es seguro decir que las únicas personas que realmente lo entienden en el nivel más profundo son los matemáticos que han dedicado la mayoría de sus carreras académicas a estudiarlo.