¿Una esfera de masa hueca todavía causa dilatación del tiempo GR dentro de ella, a pesar de que no hay un campo gravitacional neto?

Si lo hace. Para modelar esto, use la métrica de una métrica estática, esféricamente simétrica con algo de materia (fluida). Las ecuaciones de campo se convierten en las conocidas ecuaciones de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (véase, por ejemplo, Wald, Sec. 6.2). Escribir la métrica en el formulario
[matemáticas]
ds ^ 2 = -e ^ {2 \ phi} dt ^ 2 + \ left (1- \ frac {2m (r)} {r} \ right) ^ {- 1} dr ^ 2 + r ^ 2 d \ Omega ^ 2
[/matemáticas],
el desplazamiento al rojo gravitacional en alguna coordenada r viene dado por
[matemáticas]
z (r) = \ frac {\ omega_r} {\ omega_ \ infty} -1 = -g_ {tt} (r) ^ {- 1} -1,
[/matemáticas]
donde el “potencial” [matemáticas] \ phi (r) [/ matemáticas] satisface
[matemáticas]
\ frac {d \ phi} {dr} = \ frac {m (r) +4 \ pi r ^ 3 P} {r [r-2m (r)]},
[/matemáticas]
y la función [matemática] m (r) [/ matemática] (no es la masa adecuada incluida)
[matemáticas]
m (r) = 4 \ pi \ int_0 ^ r \ rho (s) s ^ 2 ds.
[/matemáticas]
Se ha elegido que lo anterior sea asintóticamente plano, por lo que [math] m (\ infty) [/ math] es, de hecho, la masa total en el espacio-tiempo, y [math] \ lim_ {r \ to \ infty} \ phi \ to 0 [/ matemáticas].

Ahora, para modelar una carcasa hueca, tomaría la densidad [matemática] \ rho [/ matemática] y la presión [matemática] P [/ matemática] para tener un soporte compacto entre algunas [matemática] r _- [/ matemática] y [matemática ] r _ + [/ matemáticas]. Lo que ve es que el “potencial” [matemático] \ phi [/ matemático] va a una constante dentro de la carcasa hueca, donde el valor coincide en el borde interno [matemático] r _- [/ matemático] de la carcasa. Este potencial controla la dilatación del tiempo a través del factor de desplazamiento al rojo, ya que
[matemáticas]
z (r) = -g_ {tt} (r) ^ {- 1} -1 = e ^ {- 2 \ phi} -1.
[/matemáticas]

Relatividad general