Esta es una pregunta técnica que va un poco más allá de la física de pregrado.
Esto está relacionado con la formulación del tiempo imaginario de la teoría del campo térmico cuántico. Teoría del campo cuántico térmico.
La idea básica surgió gracias a Felix Bloch y fue desarrollada por Matsubara y luego popularizada por Steven Weinberg (1974) y Dolan y Jackiw (1974) para una forma de realizar cálculos de temperatura finita dentro de la teoría del campo cuántico relativista.
La idea básica es que existe una estrecha conexión entre la teoría del campo termodinámico y la teoría del campo cuántico relativista.
En la teoría del campo cuántico relativista, la integral del camino (que define la teoría), es
[matemáticas] Z = \ int \ exp (i \ int d ^ 4x \ mathcal {L}) [/ math]
donde como en la teoría del campo térmico es
[matemáticas] Z = \ int \ exp (- \ int d \ tau d ^ 3x \ mathcal {L}) [/ math]
Estos son idénticos a excepción de t → iτ. La identificación de la temperatura surge porque los estados y lagrangianos son independientes del tiempo y se integran sobre la coordenada imaginaria del tiempo si se compacta a una circunferencia de β para obtener
[matemática] Z = \ int \ exp (- \ beta \ int d ^ 3x \ mathcal {L}) \ sim \ int \ exp (- \ beta H) [/ math]
que reconoce como la función de partición para el conjunto canónico con temperatura
[matemáticas] \ beta = 1 / T [/ matemáticas]
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En la métrica de Schwarzschild anterior, ves un término que se parece
[matemáticas] ds ^ 2 = dr ^ 2 + r ^ 2 d \ theta ^ 2 [/ matemáticas]
cuál es la métrica para un plano en coordenadas polares. Identificamos el tiempo de Schwarzschild con θ = τ / 4M. Sabemos que θ es periódico con un período de 2π, sabemos que
τ tiene un período de 8πM, que a su vez identificamos como el recíproco de temperatura
[matemáticas] T = \ frac {1} {8 \ pi M} [/ matemáticas]
cuál es la fórmula para la temperatura de la radiación de Hawking.
