La constante de Madelung es significativa exactamente de la misma manera que las series infinitas convergentes son significativas. En lugar de agregar literalmente ad infinitum , simplemente puede tomar el límite y terminar de una vez.
Específicamente, en el caso de la constante de Madelung, le permite encontrar el potencial eléctrico de un solo ion en una red cristalina infinita. Como se enseña normalmente, uno considera un ion en una red de NaCl.
Cada anión siente atracción por todos los cationes que lo rodean y es repelido por todos los demás aniones. Este potencial eléctrico es proporcional al número de cargas e inversamente proporcional a la distancia que los separa, por lo que si quisiera calcular la energía electrostática del ion cero en la figura anterior, tendría
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[matemáticas] E = – \ frac {6k_ \ mathrm {c} e ^ 2} {\ frac12a} + \ frac {12k_ \ mathrm {c} e ^ 2} {\ frac {\ sqrt2} 2a} – \ frac { 8k_ \ mathrm {c} e ^ 2} {\ frac {\ sqrt3} 2a} + \ cdots [/ math],
donde el i- ésimo término es la interacción con los i- ésimos iones en la figura anterior y a es la red constante.
Ahora esa expresión no es muy bonita, así que limpiemos un poco. Definimos [math] r_0 [/ math] como la distancia entre vecinos más cercanos, por lo que en este caso [math] r_0 = \ tfrac {a} 2 [/ math]. Saca todas las constantes y obtenemos
[matemáticas] E = \ frac {k_ \ mathrm {c} e ^ 2} {r_0} \ left (-6+ \ frac {12} {\ sqrt2} – \ frac8 {\ sqrt3} + \ cdots \ right) [ /matemáticas],
que se ve mucho mejor. En este punto, generalmente el profesor simplemente le dice que la serie infinita es igual a 1.748, el valor citado para la constante de Madelung de la estructura de cristal de sal de roca, y todos los estudiantes se van a casa, contentos de haber aprendido algo nuevo.
Sin embargo, esa explicación pasa por alto un poco de matemática interesante: esa serie que derivamos es condicionalmente convergente, por lo que solo obtenemos la respuesta correcta cuando sumamos todo de la manera exacta que lo hicimos.
Este método que utilizamos se llama método de expansión de esferas, llamado así porque sumamos todo en [math] r = \ tfrac1 {\ sqrt1} [/ math], luego todo en [math] r = \ tfrac1 {\ sqrt2} [/ math] y [math] r = \ tfrac1 {\ sqrt3} [/ math], y así sucesivamente. Es simple, intuitivo y converge absolutamente en dos dimensiones. Es una pena que su enrejado de cristal típico tenga tres dimensiones.
Para tres dimensiones, la forma de obtener una serie absolutamente convergente es usar el método de expandir cubos, donde tendrías que tener en cuenta todos los cationes y aniones en un cubo dado antes de expandirlo. Comienza con una celda primitiva, agrega las contribuciones de los cationes y los aniones juntos, luego agrega la siguiente capa de celdas.
Esto es algo intuitivo ya que los cristales reales crecen capa por capa, no agregando esféricamente iones de carga alterna. Sin embargo, este método es pedagógicamente más complicado, por lo que a los estudiantes a menudo se les enseña solo el método de expandir las esferas.
Por supuesto, hasta ahora solo he descrito la constante de Madelung para la estructura de cristal de sal de roca. Otras estructuras de cristal tienen diferentes disposiciones de cationes y aniones, y por lo tanto tendrían sus propias constantes de Madelung diferentes.
Para obtener más detalles sobre las matemáticas, eche un vistazo a la convergencia de sumas de celosía y la constante de Madelung de Borwein, Borwein y Taylor. La imagen para el método de expansión de cubos es de este documento, y la imagen para el método de expansión de esferas es de Wikimedia Commons.
