Primero, expliquemos qué es una distribución binomial , ya que es discreta y, en consecuencia, un poco más tangible.
Digamos que trabajo en la cafetería de una empresa y quiero planear las prisas de la mañana. Sé que hay una probabilidad de 1 en 3 de que cada uno de los 75 empleados de la compañía se presente y quiera un café esta mañana. Obviamente, eso significa que el número esperado de cafés servidos será de 25, pero me gustaría saber un poco más que eso, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que 30 personas quieran un café? 35?
Si sabes un poco de matemática, no es demasiado difícil calcular la probabilidad exactamente. La probabilidad de que exactamente 25 personas aparezcan queriendo un café es
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[matemáticas] \ binom {75} {25} \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ {25} \ left (1 – \ frac {1} {3} \ right) ^ {75 – 25 } \ aproximadamente 9.73% [/ matemáticas]
y la probabilidad de que al menos 30 personas aparezcan queriendo un café es
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {30} \ binom {75} {k} \ left (\ frac {1} {3} \ right) ^ {k} \ left (1 – \ frac {1} {3} \ right) ^ {75 – k} \ aproximadamente 90.96% [/ math]
Etcétera. Dado que esto se calcula utilizando el teorema binomial, la distribución de probabilidad del número de personas que aparecerán queriendo un café se llama distribución binomial .
La distribución de Poisson es como la distribución binomial, pero se trata de una situación continua más que discreta. Específicamente, en lugar de muchos empleados que trabajan en una empresa, piense en los infinitos momentos entre las 9 a.m. y las 10 a.m., y suponga que, en promedio, los clientes llegan a una tasa de 25 por hora. Esto es un poco diferente al modelo anterior: por ejemplo, en el modelo anterior, podrían llegar a lo más 75 clientes, mientras que en el modelo continuo hay una probabilidad (muy, muy pequeña) de que lleguen 1,000,000 de clientes. En este modelo, la distribución de probabilidad del número de clientes que se presentan entre las 9 AM y las 10 AM se denomina distribución de Poisson .
En el escenario anterior, por cierto, si la cantidad de dinero que gasta cada cliente es independiente de lo que gastan los otros clientes y se distribuye de la misma manera, entonces los ingresos totales entre las 9 AM y las 10 AM tienen otro tipo de distribución, que es conocido como una distribución compuesta de Poisson .
que sigue una distribución de probabilidad de Poisson, luego la función de masa de probabilidad (pmf) para la distribución de probabilidad de Poisson es la siguiente: 
El parámetro 
toma siempre valores positivos, y es el valor esperado de X, es decir, la media de la frecuencia con la que ocurren los eventos X. 
toma siempre valles integrales, así como el valor cero. 
es la base del logaritmo natural, y también se llama número de Euler. 
es factorial, es decir, sus miembros se multiplican, por ejemplo 
Y por lo tanto, 
. Debido a que estamos buscando la probabilidad de que el erizo te haya picado solo una vez en estos 100 días: 
. Luego, al reemplazar los símbolos de la fórmula por los valores correspondientes, como resultado, tenemos: 
ή 
. 
Explicación del símbolo 
: Indique la suma de todos los resultados que se producirán cuando las operaciones matemáticas se relacionen con cada enésimo miembro (i) dentro 
: El valor integral máximo de tiempo o espacio, en relación con el evento de interés. 
: toma valores integrales, p. ej. 0,1,2,3… n. 
