¿El cálculo aún funciona bien en una escala más pequeña, es decir, la física cuántica? ¿No significará la definición de infinitesimal algo diferente en ese nivel?

La idea de desarrollar un nuevo campo de las matemáticas llamado cálculo era calcular algo de este tipo.

Estudiar los efectos microscópicos a escala macroscópica fue una tarea difícil de manejar para los primeros científicos. Hoy, por supuesto, hay un número n de maquinaria y herramientas para este propósito que no habían estado allí entonces.

Por lo tanto, el concepto básico era reducir la escala de consideración a un nivel infinitesimal en el que se pudieran poner todas las ideas, las ecuaciones daban lugar a fórmulas y luego escalarlo a un factor importante.

Incluso hasta la fecha, la mayoría de la mecánica cuántica no solo se entiende, sino que también se estudia a nivel de cálculo y luego se pone en la forma de nuestro interés.

Los conceptos básicos de la mecánica cuántica, que es la ecuación de onda de Schrodinger en sí, tienen términos derivados parciales en la mayoría de sus formas.

Sí, infinitesimal ciertamente significaría mucho diferente a ese nivel. Si se entiende a nivel macroscópico, entonces es necesario reducirlo aún más a nivel cuántico.

No existen funciones continuas en la naturaleza, por lo tanto, el cálculo integral y derivado solo puede ser aproximaciones a la realidad física. Sin embargo, las aproximaciones son espectacularmente buenas para la mayoría de las aplicaciones prácticas.

Pero lo mismo es cierto de la geometría y muchas otras ramas de las matemáticas. Son idealizaciones útiles por derecho propio, que también proporcionan excelentes modelos para cálculos prácticos.

Esa es una muy buena pregunta. Fundamentalmente, en realidad no sabemos si el espacio-tiempo es discreto o continuo. Si es continuo (que es la forma en que lo tratamos ahora), la diferenciación con respecto a las coordenadas espacio-temporales sería perfectamente válida. De lo contrario, tendríamos que reemplazar la diferenciación con diferencias finitas.

Si resulta que podemos encontrar un análogo cuántico de la relatividad general, entonces esa será nuestra respuesta. Hasta entonces, lo mejor que podemos hacer es adivinar.