Solo para la claridad de aquellos que podrían estar menos familiarizados con este tema, el factor de escala adimensional [matemáticas] a (t) [/ matemáticas] indica que el universo se está expandiendo. Su presencia en ecuaciones cosmológicas le permite escalar la longitud del componente espacial de manera arbitraria.
Debido a que esta pregunta se refiere a la métrica Robertson-Walker, limitaré mi respuesta a ese tipo de universo. Sin embargo, debo decir que esta es solo una de las muchas métricas posibles. Se han diseñado métricas en las que una dirección se expande más rápido que otras, donde hay un universo giratorio, etc. Esta métrica RW es una aplicación de la navaja de afeitar de Occam. Es una de las formas más simples de expresar un universo en expansión y parece estar bastante cerca de la realidad.
La [matemática] t [/ matemática] en la métrica RW es el tiempo cosmológico propio o tiempo cósmico . Cada una de las coordenadas, dado que se multiplican por el factor de escala, son coordenadas de desplazamiento, es decir, coordenadas que no cambian a medida que el universo se expande. Por ejemplo, la distancia comoving entre las marcas de 2 pulgadas y 7 pulgadas en una regla de expansión se mantendría igual mientras la distancia adecuada aumentaría. Como advertencia adicional, la métrica RW no se mantendrá en pequeñas escalas donde las fuerzas gravitacionales electromagnéticas mantienen unidas las cosas. Sin embargo, en escalas mayores a 100 Mpc es justo decir que se mantienen la homogeneidad y la isotropía.
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Aquí hay dos de las ecuaciones de Einstein donde [matemática] G [/ matemática] es la constante gravitacional universal, [matemática] K [/ matemática] es la curvatura del universo (se supone que es 0 en un universo plano), [matemática] c [/ math] es la velocidad de la luz y [math] P [/ math] es la presión:
[matemáticas] \ left (\ dfrac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ dfrac {8 \ pi G} {3} \ rho \ left (t \ right) – K \ dfrac {c ^ 2} {a ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ left (\ rho a ^ 3 \ right) + \ dfrac {P} {c ^ 2} \ dfrac {d} {dt} \ left (a ^ 3 \ right) = 0 [/ matemáticas]
En la primera ecuación, [math] \ rho \ left (t \ right) [/ math] es la densidad de masa del universo. Disminuirá con el tiempo en un universo en expansión. (Tenga en cuenta que en estas ecuaciones puede reemplazar la densidad de masa [math] \ rho [/ math] con la densidad de energía [math] \ varepsilon [/ math] utilizando [math] \ varepsilon = \ rho c ^ 2 [/ math ].) El término de la izquierda es como un término de energía cinética, mientras que el primer término de la derecha es como un término de energía potencial. Esto se conoce como la ecuación de Friedmann . La segunda ecuación es la forma diferencial de la ecuación fluida . Ambos términos en la ecuación del fluido representan la tasa de cambio de la densidad de masa. El primero puede considerarse como el cambio en la energía interna, mientras que el segundo puede considerarse como el trabajo realizado por la presión.
La ecuación de Friedmann se puede multiplicar por [matemática] a ^ 2 [/ matemática], tomar su derivada del tiempo, dividirla por [matemática] 2 a \ dot {a} [/ matemática] y sustituirla nuevamente en la ecuación fluida para producir otra ecuación útil conocida como la ecuación de aceleración ,
[matemáticas] \ dfrac {\ ddot {a}} {a} = – \ dfrac {4 \ pi G} {3} \ left (\ rho + \ dfrac {3P} {c ^ 2} \ right) [/ math]
La relación entre [matemáticas] a \ left (t \ right) [/ math] y el tiempo varía a lo largo de la historia del universo. Cuando el universo está dominado por la radiación en las primeras etapas, la densidad de energía de los fotones puede escribirse utilizando la Ley Stefan-Boltzmann. Combinado con la ecuación de Friedmann, el resultado es que el factor de escala debería cambiar a medida que
[matemáticas] a \ left (t \ right) \ sim t ^ {1/2} [/ math]
A medida que el universo se expande, la masa de protones no cambia, pero el volumen sí. Por lo tanto, la densidad de masa se escalará con el volumen que escala linealmente con el factor de escala en cada dimensión. Esto entra en lo que llamaríamos el universo dominado por la materia y obtenemos
[matemáticas] a \ left (t \ right) \ sim t ^ {2/3} [/ math]
En una curvatura dominada universo
[matemáticas] a \ izquierda (t \ derecha) \ sim t [/ matemáticas]
y si la densidad de energía del universo es constante
[matemáticas] a = e ^ {\ lambda t} [/ matemáticas]
Creemos que esta situación existe en el universo muy temprano debido a cierta energía de vacío, lo que lleva a la inflación.
