El valor de la constante de Planck no tiene un significado físico real. Es una construcción artificial que depende completamente del sistema arbitrario de unidades utilizadas. La única razón por la que existe es como una especie de tasa de conversión entre diferentes unidades. En las unidades naturales, que son las unidades utilizadas en física teórica, solo hay una unidad de medida: la energía, por lo que no es necesario convertir de una unidad a otra y la constante de Planck (reducida) simplemente recibe el valor 1.
La misma explicación exacta también se aplica a la velocidad de la luz, que también recibe el valor 1 en unidades naturales.
En resumen, la respuesta es no, ya que el valor de la constante de Planck no tiene significado y, en particular, no afecta el valor de la velocidad de la luz, ya que ambos son exactamente iguales a 1 de todos modos (en unidades naturales).
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Información adicional de los comentarios sobre por qué la velocidad de la luz es igual a 1:
La velocidad de la luz es solo una tasa de conversión necesaria porque normalmente usamos diferentes unidades para medir la longitud y el tiempo.
Por ejemplo, 1 euro es igual (al momento de escribir) 1.36 dólares estadounidenses. Entonces puede decir que la tasa de conversión entre las dos monedas es 1.36. Pero si todos usáramos la misma moneda, entonces todas las tasas de conversión equivaldrían exactamente a 1.
En la relatividad especial, el espacio-tiempo tiene 4 dimensiones, 3 espacios y 1 tiempo. No es práctico medir diferentes dimensiones con diferentes unidades, por lo que en física teórica solo establecemos c = 1 y medimos las dimensiones de espacio y tiempo en las mismas unidades.
Información adicional de los comentarios sobre lo que sucede si cambia la velocidad de la luz:
No puedes cambiarlo. Se define como 1. Puede definirlo como 2, si lo desea. Todo lo que hará es cambiar algunas ecuaciones para compensar la nueva definición de c. Pero solo cambiará la forma en que los humanos hacemos los cálculos, no cambiará nada real en el universo.
La razón es que, como expliqué, c es solo una cantidad artificial, inventada por humanos, cuyo único propósito (al menos en física teórica moderna) es convertir una unidad en otra en cualquier sistema de unidad arbitraria que elija (metros y segundo , millas y horas, etc.). Dicha constante se llama constante física dimensional, ya que tiene dimensiones (que es otro nombre para las unidades).
Por supuesto, si cambia una constante física adimensional, es decir, una cantidad cuyo valor numérico no depende del sistema de unidades que elija, como la constante Estructura fina o la relación entre la masa del bosón de Higgs y esa del Protón, probablemente romperás el universo …
Ver también las respuestas de Barak: física teórica.