Editar: Actualizar / repetir la respuesta para el nuevo enunciado de la pregunta. No hay energía anómala en ninguno de los casos y en el límite de bucles muy pequeños, los dos casos son realmente idénticos. La energía cinética adicional para los dipolos fijos es compensada por una energía potencial magnetostática más baja (porque los momentos son más grandes) de modo que se conserva la energía total. Además, este es un problema electromagnético. Tanto los campos eléctricos como los campos magnéticos están presentes y actúan sobre las cargas (aunque el componente eléctrico no siempre se muestra explícitamente), por lo que la afirmación de que los campos magnéticos no funcionan no es relevante.
Para demostrar que la energía se conserva, observamos que el potencial magnetostatico del dipolo 1 es
[matemáticas] U_1 = -m_1 \ cdot B_2 [/ matemáticas]
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Donde [math] m_1 [/ math] es el momento del dipolo 1, y [math] B_2 [/ math] es el campo debido al dipolo 2 en la posición del dipolo 1.
La fuerza sobre él es solo el gradiente de esto,
[matemáticas] F = \ nabla (m_1 \ cdot B_2) [/ matemáticas]
Si crees en esas dos cosas, ya hemos terminado. Siempre que my B puedan describirse como campos (sus valores solo dependen de su posición en el espacio que nos interesa, en este caso, la línea entre los dipolos alineados), puede mostrar la fuerza que hemos descrito es una fuerza conservadora, por lo que no produce cambios en la energía total.
Es simple mostrar que podemos describir my B como campos para el caso de momento constante. En esta situación, m es constante y B es simplemente una función de la distancia de separación. Por momentos idénticos la fuerza es
[matemáticas] F_ {fijo} = \ nabla \ izquierda (\ frac {\ mu_0 m ^ 2} {2 \ pi r ^ 3} \ derecha) [/ matemáticas]
Es un poco menos obvio ver que este es el caso de los bucles superconductores (de hecho, no creo que sea cierto para los no superconductores). Pero para la inducción en un superconductor, cualquier fem acelerará los portadores de carga para cancelar exactamente un cambio en el campo aplicado. Por lo tanto, el campo total en cualquiera de los bucles permanece constante. Tenemos
[matemáticas] B_ {total} = B_1 + B_2 = C [/ matemáticas]
Aquí [math] C [/ math] es una constante que depende solo de las condiciones iniciales, y todos los campos magnéticos se evalúan en la posición del dipolo 1.
El campo interno de un dipolo es solo
[matemáticas] B_1 = \ frac {\ mu_0 m_1} {2 \ pi R ^ 3} [/ matemáticas]
Donde [math] R [/ math] es el radio del bucle actual.
El campo externo es
[matemáticas] B_2 = \ frac {\ mu_0 m_2} {2 \ pi r ^ 3} [/ matemáticas]
Donde [math] r [/ math] es la distancia de separación. Por lo tanto, si los dos momentos son iguales e iguales a [matemática] m [/ matemática],
[matemáticas] m = \ frac {2 \ pi C} {\ mu_0} \ frac {r ^ 3 R ^ 3} {r ^ 3 + R ^ 3} [/ matemáticas]
[matemáticas] B_2 = C \ frac {R ^ 3} {r ^ 3 + R ^ 3} [/ matemáticas]
Por lo tanto, my B siguen siendo solo funciones de separación y la fuerza es conservadora. Es interesante notar que en el límite de r >> R, el caso del bucle superconductor libre es idéntico al caso del momento fijo.
Cuando r no es mucho más grande que R, las expresiones de campo magnético que hemos utilizado se descompondrán y las ecuaciones no serán realmente válidas, pero my B seguirán siendo funciones de la distancia de separación solamente.
Respuesta original:
Gran pregunta, creo que su premisa es incorrecta. En el caso de los bucles superconductores, no es necesario que trabaje en la corriente para mantener los momentos iguales, debe evitar que el trabajo se realice en la corriente. No trabajas evitando que las cosas se aceleren, como empujar un bloque para que no se deslice por una pendiente.
Digamos que nuestros dos casos son para dipolos “libres” que cambiarán su momento de acuerdo con la inducción EM (como sus bucles superconductores) y dipolos “fijos” que retendrán el mismo momento de alguna manera.
Para dos dipolos alineados en un eje común, la fuerza es atractiva y la energía potencial es negativa. Si permitiera que los dipolos libres se acercaran entre sí y dejara que la inducción hiciera lo suyo, la disminución en el momento de los dos dipolos daría como resultado una energía potencial menos negativa y más alta; sería más fácil separarlos en relación con el fijo dipolos que comenzaron en el mismo momento.
Por lo tanto, son los dipolos libres los que tendrían mayor energía potencial una vez que los sueltes. ¿Adónde se ha ido la energía potencial magnetostatica para los dipolos fijos? En energía cinética. Los dipolos fijos experimentarían una fuerza de atracción más fuerte debido a que el gradiente en el potencial magnetostatico es mayor, esto haría que aceleren más y alcancen una velocidad mayor en la misma distancia.
Creo que la diferencia entre estos dos casos es idéntica a la diferencia entre los enfoques de Ampere (libre) y Gilbert (fijo) para calcular la fuerza entre dipolos, vea aquí para más información: Momento magnético. Tenga en cuenta que evité usar el término giro porque realmente no sé si el giro está realmente fijo, ya que potencialmente puede preceder y cambiar el componente que está alineado con el campo aplicado. Creo que en un cálculo real de las fuerzas, necesitaría determinar la dependencia del momento en el campo aplicado utilizando algo como la ecuación LLG.
