Si este resultado, que la carga eléctrica se conserva, se considera en el contexto de nuestro universo espacio-tiempo más familiar, deberíamos poder aplicar el Teorema de Noether nuevamente y concluir que todo experimenta la simetría de algún otro parámetro. ¿Pero cuál es ese parámetro?
En realidad, la aplicación del teorema de Noether que describe Barak Shoshany se lleva a cabo típicamente en el espacio-tiempo plano de Minkowski de cuatro dimensiones. La simetría es [matemática] U (1) [/ matemática].
Sin embargo, su pregunta no me parece tan mal dirigida como a los demás. El teorema de Noether se aplica a los lagrangianos, y uno podría escribir el lagrangiano para una partícula cargada como
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[matemática] L = \ int dt (T – U) = \ int dt \ left (\ dfrac {1} {2} mv ^ 2 – q V \ right) [/ math]
donde [matemática] T [/ matemática] es la energía cinética, [matemática] U [/ matemática] es la energía potencial y [matemática] V [/ matemática] es el potencial electrostático. Aquí vemos la carga [matemática] q [/ matemática] multiplicando [matemática] V dt [/ matemática], una cantidad que tendría unidades de voltios-segundos en el sistema SI. Sin embargo, este lagrangiano no nos dice nada sobre la conservación de la carga. Tenemos que recurrir a la teoría cuántica de campos para encontrar alguna razón para la conservación de la carga. Además, el hecho de que se conserve la carga no nos dice nada sobre la cantidad con la que se multiplica ([matemática] V [/ matemática]) más de lo que la conservación de la masa nos diría sobre la cantidad con la que se multiplica ([matemática] v ^ 2 [/ matemáticas]).
Lo que sí tiene este lagrangiano es la invariancia bajo las traducciones en el tiempo. Si aplicamos el teorema de Noether a esta simetría del lagrangiano, descubrimos que hay una cantidad conservada:
[matemáticas] E = \ dfrac {1} {2} mv ^ 2 + q V [/ matemáticas]
Esto es solo la energía de la partícula.
Las simetrías que dan lugar a cantidades conservadas son a menudo inusuales. Por ejemplo, se necesita cierta inteligencia para darse cuenta de que el lagrangiano de la teoría cuántica de campos es invariante bajo las transformaciones [matemáticas] U (1) [/ matemáticas] o incluso más exóticas. Estas simetrías son transformaciones matemáticas sin ninguna dimensión.
El resultado importante del teorema de Noether es que si descubres una simetría del lagrangiano, no importa cuán exótico u oscuro, habrá una cantidad conservada asociada con esa simetría. Por el contrario, cada cantidad conservada que conocemos (energía, momento, carga, momento angular, número de leptones y más) está asociada con una simetría del lagrangiano.
Una nota final: la cantidad [matemática] q V [/ matemática] en el Lagrangiano clásico anterior se convierte en parte del término de interacción electrón-fotón del Lagrangiano para la electrodinámica cuántica. ¡Por lo tanto, no hay nada fundamentalmente fuera del ámbito de la derivación QED que Barak Shoshany describió!
